スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

ルジャンドル陪関数 (4)

微分方程式\[
\left[
(1-x^2) \frac{d^2}{dx^2} - 2x \frac{d}{dx} + l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}
\right] P_l^m(x) = 0
\tag{1}
\]
証明
以前に示した2つの漸化式\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} + mx \right] P_l^m(x) = \sqrt{1-x^2} P_l^{m+1}(x)
\tag{2}
\]\[
\left[ (1- x^2)\frac{d}{dx} - mx \right] P_l^m(x) = -(l+m)(l-m+1) \sqrt{1-x^2} P_l^{m-1}(x)
\tag{3}
\]を用いて示す。

以下、簡単のため、d/dx を D と書き、P の添え字の l は省略する。

(3) の m を m+1 にすると、\[
\left[ (1- x^2) D - (m+1)x \right] P^{m+1} = -(l+m+1)(l-m) \sqrt{1-x^2} P^m
\tag{4}
\](2) より、-1< x < 1 の範囲で、\[
P^{m+1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m
\tag{5}
\](5) を (4) に代入。
左辺は、\[
\left[ (1- x^2) D - (m+1)x \right] \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m \\
= \left[ (1-x^2) D\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)
+ \sqrt{1-x^2} D - (m+1) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right] \\
\times \left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m
\tag{6}
\]ここで、\[
D\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}
\tag{7}
\]を用いると、(4) は、\[
\left\{ \left[
D - \frac{mx}{1-x^2}
\right] \left[
(1-x^2)D + mx
\right] \hspace{5em} \\
+ (l+m+1)(l-m) \right\} P^m = 0
\tag{8}
\]となる。さらに、\[
D\left[ (1-x^2) D + mx \right] P^m \hspace{10em} \\
= \left[ (1-x^2)D^2 - 2xD + mxD + m \right] P^m
\tag{9}
\]に注意して展開を進めると、(1) を得る。

(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
スポンサーサイト
ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2015/04/13 08:27
コメント

管理者のみに表示

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。