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ルジャンドル陪関数 (5)

直交性
m が同じ場合には、l について直交性が成り立つ。\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{l l'}
\tag{1}
\]
証明の前に、m = 0 の場合は、\[
\int_{-1}^1 P_l^0(x) P_{l'}^0(x) dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{l l'}
\tag{2}
\]となり、ルジャンドル多項式の直交性に一致することを確認しておく。

証明
関係式\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\tag{3}
\]を用いると、(1) の左辺は、\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx
= (-1)^m \frac{(l+m)!}{(l-m)!} I_m
\tag{4}
\]となる。ただし、\[
I_m \equiv \int_{-1}^1 P_l^{-m} P_{l'}^m dx
\tag{5}
\]とする。

m > 0 としておく。
(m = 0 は証明済、 m < 0 の時は m' = -m とおいて同様に証明可能)
定義式\[
P_l^m(x) \equiv \frac{1}{2^ll!}(1-x^2)^{m/2} \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l
\tag{6}
\]を代入すると、(以下、d/dx = D と書く)\[
I_m = \frac{1}{2^l l! 2^{l'} l'!} \int_{-1}^1 D^{l-m} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m} (x^2-1)^{l'} dx
\tag{7}
\]部分積分を行って、因子を除いた積分の部分は\[
\left[ D^{l-m} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m-1} (x^2-1)^{l'} \right]_{-1}^1 \\
- \int_{-1}^1 D^{l-(m-1)} (x^2-1)^l \cdot D^{l'+m-1} (x^2-1)^{l'} dx
\tag{8}
\]
m > 0 より、 第一項はゼロ。第二項は、$I_{m-1}$。すなわち、\[
I_m = -I_{m-1} = \cdots = (-1)^m I_0
\tag{9}
\]$I_0$ はルジャンドル多項式の直交性 (2) より、\[
I_0 = \frac{2}{2l+1} \delta_{l l'}
\tag{10}
\]これを (4) に代入すると、(1) を得る。

(証明終了)

よく、こんな証明思いつくなあ・・・

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ルジャンドル陪関数 | コメント(0) | 2015/04/14 08:10
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