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球面調和関数 (1)

延々とルジャンドルをやってきたのも主にこのため!
球面調和関数がやりたかったのです。
ようやく入れます^^

定義\[
Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^m
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} }
P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{1}
\]
文献 [1] の定義はこうなっています。

ところが、Wikipedia [2] や他の文献を見ると、以下の定義をよくみかけます。\[
Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^{(m+|m|)/2}
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} }
P_l^{|m|}(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{2}
\]
ダブルスタンダードは困るぞ!!!(怒)
後々、混乱するじゃないか!
やる気もダウンします・・・orz

というわけで、まずは同じものなのかを確認すべし!

(2) 式からスタート。

m ≧0 の場合
|m| = m とおくと、明らかに (1) に一致する。

m < 0 の場合
|m| = -m だから、(2) 式は\[
Y_{lm}(\theta,\phi) =
\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} }
P_l^{-m}(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{3}
\]
関係式\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\tag{4}
\]を代入すると、(1) となる。

ということで、両方の定義は一致することが確認できた。

いろんな証明を行うには、(1) の方がすっきりしていて使いやすそうですが、
具体的な式の表現を出すときには、(2) の方がやりやすそう。

しばらくは、文献[1] を参考に進めるので、(1) 式を主に使おうと思います。

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
[2] Wikipedia 「球面調和関数」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
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球面調和関数 | コメント(0) | 2015/04/15 19:42
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