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次元の一意性 (1)

実は、解析だけでなく、線形代数も基礎から細々と復習しております。
といっても、全部細かく記事にしていくつもりはなくて、
気になったものだけポイント的に記事にしていこうかと。

基底を構成するベクトルの数を次元と呼ぶが、
次元がwell-definedであるためには、
基底を構成するベクトルの数が基底の選び方によらず、一意的でなければならない。

これを示すためには、以下が言えればよい。

定理
ある基底が n 個のベクトルから構成されるならば、
任意に選んだ n+1 個以上のベクトルは線型従属である。


実際、これが示されれば、
他に m 個のベクトルから成る基底が存在したとすると、
m 個は線形独立であるから、m ≦ n である。
逆に、m 個のベクトルから成る基底を基準に考えると、
元の基底の n 個は線形独立であるから、n ≦ m である。
結局、m = n でなければならない。

というわけで、上の定理を示せばよいことになる。

この定理は、自明のように思ってましたが、
考えてみると、そんなに自明でもないような気もします。

体 K 上の n 次数ベクトル空間 $K^n$ との同型性を使えば、
$K^n$ における連立方程式論を使って理解できます。
しかし、線形空間の公理だけから純粋に示した方がすっきりしますね。

まずは、愚直に示そうとして、
基底を $\langle e_1, \cdots, e_n \rangle$ として、
m 個のベクトル $a_1, \cdots, a_m$ を\[
a_1 = c_{11} e_1 + c_{12} e_2 + \cdots + c_{1n} e_n \\
\cdots \\
a_m = c_{m1} e_1 + c_{m2} e_2 + \cdots + c_{mn} e_n
\]などと展開してやろうとすると、
結局は、連立方程式論と同じになってしまうようですね(汗)

線形空間の公理から証明する方法が文献 [1] に載ってましたので、
フォローしてみたいと思います。
かなりトリッキーですが、なるほど・・・という感じです。

長くなってしまったので、証明自体は次回へ。


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/05/26 07:00
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