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行列の階数と正則性

n 次正方行列 A に対して、以下は同値である。
(a) A は正則である。
(b) r(A) = n


(証明)
(a) ⇒ (b)
ある正則行列 P, Q を用いて、PAQ = F(r) とできる。
A は正則であるから、F(r) も正則であり、r(A) = n でなければならない。

(b) ⇒ (a)
r(A) = n であれば、F(r) = E (E は n 次単位行列)。
ある正則行列 P, Q を用いて、PAQ = E とできる。
よって、$A = P^{-1} Q^{-1}$ となり、A は正則である。
(証明終了)


任意の正則行列は、基本行列の積で表される。

(証明)
任意の正則行列 A に対して、上記より r(A) = n であるから、
ある基本行列の積 P, Q を用いて、 PAQ = E とできる。
よって、 $A = P^{-1} Q^{-1}$ と表すことができ、
$P^{-1}$、$Q^{-1}$ は基本行列の積であるから、題意は証明された。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/05/30 11:56
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