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線形写像

数ベクトル空間における線形写像は、必ず、行列で表せる。

体 K 上の $x \in K^n \rightarrow x' \in K^m$ の任意の線形写像 $x' = Tx$ は、
ある (m, n) 行列 A を用いて、$x' = Ax$ と表される。

(証明)
$K^n$ 上で、第 i 成分のみが 1 、他成分がすべて0の単位列ベクトル
$e_i = (0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots, 0)^T$ を考え、
$a_i = Te_i$ とおき、$A = (a_1, \cdots, a_n)$ とする。

任意のベクトル $x \in K^n$ は、$x = \sum_i x_i e_i$ と表せるから、
$Tx = T(\sum_i x_i e_i) = \sum_i x_i Te_i = \sum_i x_i a_i$ となり、
$Tx = Ax$ と表される。
(証明終了)

n 次元数ベクトル空間と n 次元線形空間は同型である。

(証明)
n 次元線形空間 V 上に、ある基底 $\langle e_i \rangle$ を導入すると、
任意のベクトル $x \in V$ は、$x = \sum x_i e_i$ と一意に展開できる。
(基底の定義と線形独立性から)

$x \rightarrow (x_1, \cdots, x_n)^T \in K^n$ の写像は、線形で全単射であり、
V と $K^n$ の同型対応を与える。
すなわち、V と $K^n$ は同型である。
(証明終了)

以上を踏まえると・・・
一般の線形空間上の線形写像は、行列で表現できる。

n 次元線形空間 V から m 次元線型空間 V' への線形写像 T を考える。
V , V' 上に適当な基底 $E = \langle e_i \rangle$、$E' = \langle e'_i \rangle$ を設定すると、
それぞれ、$K^n$、$K^m$ と対応付けられ、
線形写像 T に対して、$K^n \rightarrow K^m$ の線形写像 $T_A$ が対応付けられ、
(m, n) 行列 A が対応付けられる。

すなわち、$x' = Tx$ に対して、\[
x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n
\]\[
x' = x'_1 e'_1 + \cdots + x'_m e'_m
\]とすれば、\[
\left[
\begin{array}{c}
x'_1 \\ \vdots \\ x'_m
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
& \cdots & \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right]
\]と表現できる。

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/02 07:02
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