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基底の取り替え

n 次元線形空間 V 上のベクトル v に対して、
基底 $E = \langle e_i \rangle$ によって対応付けられた $K^n$ の元を x とし、
別の基底 $F = \langle f_i \rangle$ によって対応付けられた $K^n$ の元を y とする。\[
v = \sum_i x_i e_i = \sum_i y_i f_i
\]
ここで、$K^n$ の元 x と y の関係は全単射の線形写像で結ばれるので、
正則な n 次正方行列 P を用いて、\[
x = Py
\]と書ける。
行列 P を基底の取り替え E→F の行列と呼ぶ。

基底の取り替えによって、線形写像の行列がどのように変化するか?

V → V' の線形写像 T を考え、
V と V' 上に基底 E と E' を導入した時には、行列 A で表現されるとする。\[
x' = Ax
\tag{1}
\]
これらの基底を F, F' に取り替えたとき、取り替えの行列を P, Q とすると、\[
x = Py
\tag{2}
\]\[
x' = Qy'
\tag{3}
\](2)、(3) を (1) に代入すると、\[
Qy' = APy
\]よって、\[
y' = Q^{-1}APy
\tag{4}
\]となる。
基底の取り替えによって、線形写像の行列 A は、$Q^{-1}AP$ に変化する。

特に、線形変換 (V = V', P = Q)の場合は、
行列 A は、 $P^{-1}AP$ に変化する。

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/02 08:00
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