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核と像

線形写像 T (V → V') に関する概念。

(kernel)
写像によって、零ベクトルに移されるベクトルの集合。\[
{\rm Ker} T = T^{-1}(o') = \{ x \in V| Tx = o' \}
\]
(image)
写像によって、すべての元全体が移された先の集合。\[
{\rm Im} T = T(V) = \{ Tx | x \in V \}
\]
核も像も線形空間であり、それぞれ、V と V' の部分空間である。

核と像の空間の次元に関して、以下が成立。\[
{\rm dim} V = {\rm dim Ker} T + {\rm dim Im} T
\]
(証明)
Ker T の基底を $\langle e_1, \cdots, e_s \rangle$ として、
これにベクトルを追加して、V の基底 $E = \langle e_1, \cdots, e_s, e_{s+1}, \cdots, e_n \rangle$ を構成する。
$E' = \langle T(e_{s+1}), \cdots, T(e_n) \rangle$ が Im T の基底となることを示せばよい。

Im T の任意の元 x' に対して、x' = Tx となる元 $x \in V$ が存在する。
基底 E で展開して、$x = \sum_i c_i e_i$ とすると、\[
x' = Tx = T (\sum_i c_i e_i) = \sum_i c_i Te_i = c_{s+1} Te_{s+1} + \cdots + c_n Te_n
\]となり、E' の線形結合で表される。

また、線形関係\[
c_{s+1} Te_{s+1} + \cdots + c_nTe_n = o'
\]を仮定すると、\[
T( c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n ) = o'
\]より、$c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n$ は Ker T の元であるから、\[
c_{s+1} e_{s+1} + \cdots + c_n e_n = c_1 e_1 + \cdots + c_s e_s
\]$e_i$ の線形独立性から、すべての $c_i$ はゼロとなり、E' の線形独立性が言える。
(証明終了)



参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/03 08:00
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