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和空間

なぜか、畳に床の間、掛け軸に生け花を彷彿とさせる言葉です(笑)
我が家にはないので、非常に欲しいものの一つです。

和空間
線形空間 V の部分空間 $W_1$, $W_2$ に対して、
$W_1$ の元と $W_2$ の元の和全体からなる集合は線形空間となる。
これを和空間と呼び、$W = W_1 + W_2$ で表す。\[
W_1 + W_2 = \{ x_1 + x_2 | x_1 \in W_1, x_2 \in W_2 \}
\]合併集合 $W_1 \cup W_2$ とは異なるので、注意!
(合併集合にはないようなものも含まれる)

和空間の次元に関して、以下の定理が成立。\[
{\rm dim}W_1 + {\rm dim}W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\]
(証明)
W1∩W2 の次元を r, W1 及び W2 の次元をそれぞれ、r + s, r + t とすると、
W1 + W2 の次元が r + s + t となることを示す。

まず、W1∩W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r \rangle$ と選び、
これを拡張して、W1 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s \rangle$、
W2 の基底を $\langle a_1, \cdots, a_r, c_1, \cdots, c_t \rangle$
とする。
この時、$E = \langle a_1, \cdots, a_r, b_1, \cdots, b_s, c_1, \cdots, c_t \rangle$ が
W1 + W2 の基底となることを示す。

W1 + W2 の任意の元は、W1 の元と W2 の元の和で表せるから、
E の線形結合で表されることは明らか。
そこで、E の線形独立性を示せばよい。

線形関係\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i + \sum_{i=1}^t \gamma_i c_i = o
\tag{1}
\]を仮定する。移項すると、\[
\sum_i \alpha_i a_i + \sum_i \beta_i b_i = -\sum_i \gamma_i c_i
\]となり、左辺は W1 の元、右辺は W2 の元であるから、両辺ともに W1∩W2 の元である。
よって、\[
\sum_i \gamma_i c_i = \sum_i \lambda_i a_i
\]と書けて、W2 の基底の線形独立性より $\gamma_i = 0$ および $\lambda_i = 0$ となる。

(1) に代入すると、\[
\sum_{i=1}^r \alpha_i a_i + \sum_{i=1}^s \beta_i b_i = o
\]となり、今度は W1 の基底の線形独立性より、$\alpha_i = 0$ および $\beta_i = 0$ が言え、
E の線形独立性が示された。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/09 07:25
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