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直和

直和
和空間において、和の表し方が一意的である時、直和と呼ぶ。

$W = W_1 + W_2$ において、$x \in W$ が
$x = x_1 + x_2$ ($x_1 \in W_1$、$x_2 \in W_2$)と一意的に表される時、
W を W1 と W2 の直和であるといい、
$W = W_1 \dot{+} W_2$ と書くことにする。


直和の条件は、以下の各々の条件と同値である。

(1) $W_1 \cap W_2 = \{ o \}$

(証明)
W1 + W2 が直和であると仮定する。
もし、W1∩W2 に o 以外の元 a が存在したとすると、-a も元である。
$o = o + o = a + (-a)$ の2通りの和が存在するため矛盾。

逆に、(1) が成立すると仮定する。
2通りの和 $x = x_1 + x_2 = x'_1 + x'_2$ が存在したとすると、
$x_1 - x'_1 = x'_2 - x_2$ となり、両辺は W1∩W2 の元であり、o と等しい。
よって、$x_1 = x'_1$、$x_2 = x'_2$
(証明終了)


(2) ${\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2)$

(証明)
前記事より\[
{\rm dim} W_1 + {\rm dim} W_2 = {\rm dim}(W_1 + W_2) + {\rm dim}(W_1 \cap W_2)
\](1) は、${\rm dim}(W_1 \cap W_2) = 0$ と同値であるから、
(2) は (1) と同値である。
(証明終了)

参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/11 08:08
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