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階数と線形独立性

階数について、もう一つ大事なことを書き忘れてました。

行列に含まれる線形独立な列ベクトル(行ベクトル)の数は、行列の階数に等しい。

(証明)
行列 A の列ベクトルを $a_i$ とすると、
$K^n$ の単位列ベクトル $e_i$ (第 i 成分のみが1で他が0のベクトル)を用いて、
$a_i = A e_i$ と書ける。

$K^n$ は、$e_i$ によって生成される空間($e_i$ の線形結合で表せるベクトルの集合)だから、
A の与える写像 $T_A$ の像 Im $T_A$ は、$a_i$ によって生成される。

Im $T_A$ の次元は、行列の階数 r に等しいから、
$a_i$ のうち線形独立なベクトルの数は r である。

行ベクトルに関しては、階数が転置に対して不変であることを用いると、明らか。
(証明終了)


階数が転置に対して不変、すなわち\[
r(A) = r(A^T)
\]であることを示しておく。

(証明)
ある正則行列 P, Q を用いて、$PAQ = F(r)$ とできる。
両辺の転置を取ると、$Q^T A^T P^T = F(r)$ 。
$P^T$ も $Q^T$ も正則であるから、上式は $r(A^T) = r$ を意味する。
(証明終了)


参考文献
[1] 斎藤正彦 「線型代数入門」(東大出版会)
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数学>線形代数 | コメント(0) | 2015/06/26 07:21
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