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自由電子模型

いよいよ、物質中の電子の運動を古典的にモデル化して、
誘電率の分散を求めていきます。
普通はドルーデ模型から入るのですが、その前に、
完全な自由電子の模型を考えてみようと思います。

簡単のために、一次元で考える。
衝突散乱もなく、復元力もない完全に自由な電子の運動方程式は、\[
m\ddot{x} = -eE
\tag{1}
\]となる。振動数ωの外場を与えると、x が振動数ωで強制振動されるから、\[
x = x_0 e^{i\omega t}
\tag{2.1}
\]\[
E = E_0 e^{i\omega t}
\tag{2.2}
\]を代入すると、\[
x_0 = \frac{eE_0}{m\omega^2}
\tag{3}
\]となる。
先日、議論したように、巨視的分極 P は数密度 N とすると、\[
P = Np = -Nex
\tag{4}
\]と表されるから、分極のω振動成分は\[
P_0 = -Nex_0 = - \frac{Ne^2E_0}{m\omega^2}
\tag{5}
\]となる。分極と誘電率の関係\[
D = \varepsilon_0 E + P = \varepsilon E
\tag{6}
\]から、\[
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 - \frac{Ne^2}{m\omega^2}
\tag{7}
\]\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0\omega^2}
\tag{8}
\]という誘電率の分散式が得られる。\[
\omega_p^2 \equiv \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}
\tag{9}
\]と定義すると、\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}
\tag{10}
\]と表される。$\omega_p$ をプラズマ周波数と呼ぶ。


参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
[2] 佐藤勝昭 「プラズモンの基礎」
http://home.sato-gallery.com/research/principles_of_plasmons.pdf
[3] 矢野隆治 「応用光学講義ノート」
http://www.muroran-it.ac.jp/rikagaku/ap/zyuken/labo/yano/opt_found_for_Student_20150326.pdf
[4] 花村栄一 「固体物理学」 (裳華房)
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物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/13 12:55
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