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ドルーデ模型

一週間、夏休みでした。
勉強もさぞかし進んだだろうと思いきや、
最近入会したスポーツジムとピアノ三昧で勉強はほとんどゼロです^^;
唯一、都内に用事があった時の往復の電車で代数の本を数行読んだぐらい(笑)
勉強は、他にやることがない環境に置かれないと難しいですね・・・汗

さて、プラズマ周波数の理解は置いておいて、先に進みます。

自由電子模型に続いて、今度はドルーデ模型 (Drude model) を扱います。

金属の状態をうまく説明するモデルのようです。

今度は、完全に自由な電子ではなく、衝突散乱を受ける場合を考える。
散乱の部分をダンピング項として取り入れて、\[
m \ddot{x} + m\gamma \dot{x} = -eE
\tag{1}
\]とする。ここで、取り入れたダンピング項の係数\[
\gamma = 1/\tau
\tag{2}
\]は、電子同士や電子とイオンの衝突に関する平均自由時間の逆数と思えばよい。

前記事と同様に、ωで振動する成分を考えることにすると、振幅は\[
x_0 = \frac{eE_0}{m\omega(\omega - i\gamma)}
\tag{3}
\]となり、分極は、\[
P_0 = -Nex_0 = -\frac{Ne^2E_0}{m\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{4}
\]となる。これより、誘電率と比誘電率は、\[
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 - \frac{Ne^2}{m\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{5}
\]\[
\varepsilon_r(\omega) = 1 - \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0\omega(\omega-i\gamma)}
= 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega-i\gamma)}
\tag{6}
\]と表される。

実部と虚部はそれぞれ、\[
\varepsilon_{1r}(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + \gamma^2}
\tag{7.1}
\]\[
\varepsilon_{2r}(\omega) = \frac{\omega_p^2 \gamma} {\omega(\omega^2 + \gamma^2)}
\tag{7.2}
\]となる。

低周波極限(ω→0)で、実部は負の無限大に、虚部は正の無限大にそれぞれ発散する。

誘電率が負になると、屈折率の虚部が大きくなり、
光は内部に入り込めなくなり、強い反射が起きる。


これが金属が光を反射するメカニズムのようですが、
前述のとおり、誘電率のことがよくわかってないので、
数式上は理解できても、いまいちイメージがつかめませんね。

参考文献
[1] 小林浩一 「光物性入門」 (裳華房)
[2] 佐藤勝昭 「プラズモンの基礎」
http://home.sato-gallery.com/research/principles_of_plasmons.pdf
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/08/31 08:00
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