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偏微分可能性と全微分可能性 (1)

光物性の話も少々飽きてきましたので、久しぶりに解析の続きを。
しばらくやってないと、すっかり忘れてしまってますね・・・
あっちやればこっち忘れ、こっちやればあっち忘れ・・・といたちごっこです^^;

全微分可能性と偏微分可能性の関係性が少々混乱してきましたので、
まとめていこうと思います。

まず、言葉の意味を思い出すところから。

関数としてはすべて、多変数ベクトル値関数 $f : A \subset R^n \rightarrow R^m$ で考える。

e方向の方向微分
$a \in A$, $e \in R^n$, $t \in R$ に対して、\[
(D_e f)(a) = \lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0} \frac{f(a+te) - f(a)}{t}
\tag{1}
\]
偏微分
座標 $x_i$ のもととなる基底 $e_i$ 方向の方向微分。
$a \in A$, $t \in R$ に対して、\[
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{t\rightarrow 0, t\neq 0}
\frac{f(a_1, \cdots, a_i + t, \cdots, a_n) - f(a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n)}{h}
\tag{2}
\]
微分(全微分)
$a \in A$, $h \in R^n$ に対して、\[
\lim_{h\rightarrow 0, h\neq 0}
\frac{f(a+h) - f(a) - f'(a)h}{|h|} = 0
\tag{3}
\]

微分可能(全微分可能)ならば、
任意の方向へ方向微分可能であり、偏微分可能である。


微分可能というのは、接超平面が存在するということだから、
あらゆる方向への方向微分(偏微分を含む)が存在するのは自明。

導関数を $f'(x)$ とすると、
方向導関数は、\[
(D_e f)(x) = f'(x) e
\tag{4}
\]偏導関数は、\[
\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) = [ f'(x) ]_{ij}
\tag{5}
\]である。($[f'(x)]_{ij}$ は行列 $f'(x)$ の i j 成分)

証明は書こうと思ってましたが、わりと自明なので、省略(笑)

次回は、この逆を考えます。


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2015/09/12 23:02
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