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偏微分可能性と全微分可能性 (3)

ベクトル値関数 $f : A \subset R^n \rightarrow R^m$ について、
以下の2つは同値である。
(a) f は A 上 C1 級である。
(b) f は A 上微分可能であり、f ' は A 上連続である。

証明概略
(a) ⇒ (b)
前記事より、C1 級であれば、f は微分可能である。
導関数 $f'(x)$ の成分 $\partial f_i / \partial x_j$ (偏導関数)は連続であるから、
導関数自体も連続となる。

(b) ⇒ (a)
微分可能であるから、偏微分可能であり、
導関数 $f'(x)$ は連続であるから、成分である偏導関数も連続である。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/09/23 23:22
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