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多変数のテイラーの定理 (1)

以前にやった一変数のテイラーの定理の多変数バージョン($R^n \rightarrow R$)。

まずは準備から。

m 次微分(定義)

f を $R^n$ の開集合 U 上で $C^m$ 級(m≧1)の実数値関数とする。
任意の $x \in U$ に対して、\[
(d^m f)_x(z) = \sum_{i\leq i_1,\cdots,i_m \leq n}
\frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}} (x) z_{i_1} \cdots z_{i_m}
\tag{1}
\]を m 次微分という。


まず、以下の補題を示す。

f を $R^n$ の開集合 U 上で $C^k$ 級(k≧1)の実数値関数とする。
二点 x と x+z を結ぶ線分\[
L : g(t) = x + tz, \ t \in [0,1]
\]が U に含まれる時、合成関数 $\phi = f \circ g$ は [0,1] 上で $C^k$ 級で、
m 階導関数(1≦m≦k)は、\[
\phi^{(m)} (t) = (d^m f)_{x+tz}(z)
\tag{2}
\]となる。


証明概略
m に関する数学的帰納法を用いる。
m = 1 の時、連鎖律を用いて、\[
\phi'(t) = f' (g(t)) g'(t) = f'(x+tz) z = (df)_{x+tz}(z)
\]m (< k) の時、(2) が成立すると仮定して、(2) を微分して、$\phi^{(m+1)}(t)$ を計算する。\[
\phi^{(m+1)}(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} [(d^mf)_{x+tz} (z)] \cdot z_i
\]
Ck 級の仮定より、偏微分は可換性があるため、整理すると、\[
\phi^{(m+1)}(t) = (d^{m+1}f)_{x+tz}(z)
\]となることが分かる。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/07 20:01
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