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屈折率と反射率・透過率の関係

今後のために必要なので、
反射率・透過率が屈折率でどのように表されるか
を導出します(直入射の場合)。

z 軸正方向に媒質Aから媒質Bへ光が入射したとする。
z = 0 に界面があり、
z < 0 が複素屈折率 $n_a$ の媒質 A、
z > 0 が複素屈折率 $n_b$ の媒質 B とする。

入射波を i 、透過波を t、反射波を r の添え字で表すこととすると、
各々の電場は、\[
E_{ix} = E_i \exp[i(n_a kz-\omega t)] \\
E_{tx} = E_t \exp[i(n_b kz-\omega t)] \\
E_{rx} = E_r \exp[-i(n_a kz+\omega t)]
\tag{1}
\]と表せる(ただし、k は真空中の波数)。
付随する磁場は、\[
\nabla\times{\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
\tag{2}
\]を用いて、計算できる。
E の空間微分のうち、ゼロでないのは $\partial E_x/\partial z$ のみであるから、
磁場は y 成分のみゼロでない。
これを用いて各々の磁場の y 成分を計算すると、\[
B_{iy} = \frac{n_a E_i}{c} \exp [i(n_a kz-\omega t)] \\
B_{ty} = \frac{n_b E_t}{c} \exp [i(n_b kz-\omega t)] \\
B_{ry} = -\frac{n_a E_r}{c} \exp [i(n_a kz+\omega t)]
\tag{3}
\]となる。
境界(z=0) における電場の連続性より\[
E_i + E_r = E_t
\tag{4}
\]
磁性体ではないと仮定して、境界両側で透磁率に差はないとすると、
磁場 H の連続性より\[
n_a E_i - n_a E_r = n_b E_t
\tag{5}
\]
(4) (5) 両式を解いて、振幅反射率振幅透過率を求めると、\[
r = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_a - n_b}{n_a + n_b}
\tag{6}
\]\[
t = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2n_a}{n_a + n_b}
\tag{7}
\]と表せる。

え~と、ここからは我流なのですが、
まず、屈折率の虚部(つまり減衰)がないとし、n がすべて実数であると仮定すると、
光強度は $n|E|^2$ に比例するから、強度反射率強度透過率は\[
R = |r|^2 = \frac{(n_a - n_b)^2}{(n_a + n_b)^2}
\tag{8}
\]\[
T = \frac{n_b}{n_a}|t|^2 = \frac{4n_a n_b}{(n_a + n_b)^2}
\tag{9}
\]となり、\[
R + T = 1
\tag{10}
\]というエネルギー保存則が導かれる。
虚部が存在すると、どうも計算がうまくいきません。
減衰があっても、境界面上では成立しているように思うのですが・・・

よくある系として、空気から媒質へ入射する場合を考えておきます。
媒質の複素屈折率を n として、$n_a = 1$、$n_b = n$ であるから、\[
r = \frac{1 - n}{1 + n}
\tag{11}
\]\[
t = \frac{2}{1 + n}
\tag{12}
\]となる。
この場合、反射に関しては、減衰がないので、強度反射率を考えると、\[
R = |r|^2 = \frac{(n_1 - 1)^2 + n_2^2}{(n_1 + 1)^2 + n_2^2}
\tag{13}
\]となる。(ここで、$n_1$、$n_2$ は屈折率の実部と虚部)

参考文献
[1] 花村榮一 「固体物理学」(裳華房)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>物性・固体物理 | コメント(0) | 2015/10/01 08:18
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