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多変数のテイラーの定理 (2)

多変数のテイラーの定理

f を $R^n$ の開集合 U 上で Ck 級 (k≧1) の実数値関数とする。
二点 x, x+h を結ぶ線分 L が U に含まれるとき、
0 < θ < 1 となる実数 θ が存在して、\[
f(x+h) = f(x) + \sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{m!} (d^mf)_x(h) + \frac{1}{k!}(d^kf)_{x+\theta h}(h)
\tag{1}
\]となる。


証明概略
$\phi(t) = f(x+th)$ とおくと、[0,1] で Ck 級となるから、
一変数のテイラーの定理を用いて、\[
\phi(1) = \phi(0) + \sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{m!} \phi^{(m)}(0) + \frac{1}{k!}\phi^{(k)}(\theta)
\tag{2}
\]となる 0 < θ < 1 が存在する。

前記事の補題より、\[
\phi^{(m)}(0) = (d^mf)_x(h)
\tag{3}
\]\[
\phi^{(k)}(\theta) = (d^kf)_{x+\theta h}(h)
\tag{4}
\]であるから、これらを (2) に代入すると、(1) を得る。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/07 20:07
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