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2変数のテイラーの定理 (1)

多変数のテイラーの定理は表現が分かりにくかったので、
2変数の場合に限定して書き下した表式を求めておきます。

2変数関数を $f(x,y)$ と書くことにして、
$f(x+h, y+l)$ の式を求めることにする。
Ck 級を仮定すると、
k 階までの偏微分の順序が可換になるから、
たとえば、$f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx}$ などとなる。

その結果、m 次微分 $d^m f$ を考えると、
x について r 回、 y について m-r 回偏微分する項は $_mC_r$ 個あり、
それらがすべて等しくなるから、\[
(d^m f)_{(x,y)}(h, l) = \sum_{r=0}^m \frac{m!}{r! (m-r)!} \frac{\partial^m f}{\partial x^r \partial y^{m-r}}(x,y) h^r l^{m-r}
\tag{1}
\]と書ける。

この表現を使うと、2変数のテイラーの定理は以下のように書ける。

2変数のテイラーの定理

f(x,y) を $R^2$ の開集合 U 上で Ck 級 (k≧1) の実数値関数とする。
二点 (x, y), (x+h, y+l) を結ぶ線分 L が U に含まれるとき、
0 < θ < 1 となる実数 θ が存在して、\[
f(x+h, y+l) = \sum_{m=0}^{k-1} \sum_{r=0}^m \frac{1}{r! (m-r)!} \frac{\partial^m f}{\partial x^r \partial y^{m-r}}(x,y) h^r l^{m-r} \\
+ \sum_{r=0}^k \frac{1}{r! (k-r)!} \frac{\partial^k f}{\partial x^r \partial y^{k-r}}(x+\theta h, y+\theta l) h^r l^{m-r}
\tag{2}
\]となる。


二項定理を使うと、もう少し簡単な以下の表現に改めることができる。

\[f(x+h, y+l)
= \sum_{m=0}^{k-1} \frac{1}{m!} \left( h \frac{\partial}{\partial x} + l \frac{\partial}{\partial y} \right)^m f(x,y) \\
+ \frac{1}{k!} \left( h \frac{\partial}{\partial x} + l \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x + \theta h, y + \theta l)
\tag{3}
\]


と言っても、結局、具体的に計算する時は(2) で計算するしかないようにも思うのですが、
まあ、(3) の方が覚えやすいです(笑)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/09 12:38
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