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電磁場の量子化 (6)

久しぶりに、電磁場の量子化の続き。

これまで、A と P を場の変数とみなして、
ハミルトニアンから正準量子化した運動方程式を導いて、
マックスウェル方程式に一致することを確認した。
そして、A と P の交換関係から、E と B の交換関係を導いた。

今度は、E と B を場の変数とみなして、
正準量子化した運動方程式を導いても、
やはりマックスウェル方程式を導くことができることを確認する。

E と B の交換関係

(1) 電場同士、磁場同士は可換。 $[E_x, E'_y] = [B_x, B'_y] = 0$ など。

(2) 電場と磁場の同成分同士は可換。 $[E_x, B'_x] = 0$ など。

(3) 電場と磁場の異なる成分同士は以下の交換関係。 \[
[E_x, B'_y] = ci\hbar \partial'_z \delta^3(r−r')
\tag{1}
\]他の成分は、サイクリックに添え字を替える。


ハミルトニアンは、

\[
H = \frac{1}{2} \int \left[ {\bf E}^2 + {\bf B}^2 \right] d^3r
\tag{2}
\]


これらの式から、量子化された運動方程式を導く。
たとえば、\[
i\hbar \dot{E_x} = [ E_x, H ]
= \frac{1}{2} \int \{ [E_x, {B'_y}^2] + [E_x, {B'_z}^2] \} d^3r'
\tag{3}
\]を計算する。まず、(1) を用いて、\[
[ E_x, {B'_y}^2] = 2ci\hbar B'_y \partial'_z \delta^3(r-r')
\]\[
[ E_x, {B'_z}^2] = -2ci\hbar B'_z \partial'_y \delta^3(r-r')
\] $B'_y$ や $B'_z$ とデルタ関数は交換できることを利用した。
さらに、部分積分を用いて、表面積分はゼロとすると、\[
[ E_x, {B'_y}^2] = -2ci\hbar \delta^3(r-r') \partial'_z B'_y
\]\[
[ E_x, {B'_z}^2] = 2ci\hbar \delta^3(r-r') \partial'_y B'_z
\]とすることができて、(3) の積分を行った結果は、\[
\dot{E_x} = c (\partial_y B_z - \partial_z B_y)
\tag{4}
\]となり、他の成分も同様であるから、マックスウェル方程式の一つ\[
\nabla \times {\bf B} = \frac{\dot{\bf E}}{c}
\tag{5}
\]が得られる。

同じように、、\[
i\hbar \dot{B_x} = [ B_x, H ]
= \frac{1}{2} \int \{ [B_x, {E'_y}^2] + [B_x, {E'_z}^2] \} d^3r'
\tag{6}
\]を計算すると、(3) と (E, B) が逆転しているだけだから、
符号が変わるだけで、マックスウェル方程式のもう一つ\[
\nabla \times {\bf E} = -\frac{\dot{\bf B}}{c}
\tag{7}
\]が得られる。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2015/10/14 12:16
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