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電磁場の量子化 (7)

下準備が長かったですが、ようやく佳境へ!

以前の記事で見たように、ここではクーロンゲージを仮定しているので、\[
\nabla\cdot {\bf A} = 0
\tag{1}
\]また、クーロン則(電荷なし)\[
\nabla\cdot{\bf P} = 0
\tag{2}
\]も自然に成立している。

そこで以下のような横波の平面波の基底を導入する。\[
{\bf u}_{k\lambda}(r) = L^{-3/2} {\bf \varepsilon}_{k\lambda} e^{i {\bf k}\cdot {\bf r}}
\tag{3}
\]ε(λ=1, 2) は2つの直交する偏光方向の単位ベクトル。
$\varepsilon_{k1}$, $\varepsilon_{k2}$, k が右手系をなすように取る。

また、周期的境界条件を仮定して、長さ L の箱で正規直交性を示すようにしておく。\[
\int {\bf u}_{k\lambda}^* \cdot {\bf u}_{k'\lambda'} d^3r = \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{4}
\]A および P を上記基底で展開する。

\[
{\bf A}(r,t) = \sum_{k\lambda}
[ q_{k\lambda}(t) {\bf u}_{k\lambda}(r) + q_{k\lambda}^\dagger(t) {\bf u}_{k\lambda}^*(r) ]
\tag{5.1}
\]\[
{\bf P}(r,t) = \sum_{k\lambda}
[ p_{k\lambda}(t) {\bf u}_{k\lambda}(r) + p_{k\lambda}^\dagger(t) {\bf u}_{k\lambda}^*(r) ]
\tag{5.2}
\]

$u_{k\lambda}^* = u_{-k\lambda}$であるから、k の和は k 空間の半分のみで行うこととして、
係数はA, P がエルミートになるように配慮している。

ここで、q と p の間の交換関係を以下のように決める。

\[
[q_{k\lambda}(t), p_{k'\lambda'}^\dagger(t)]
= i\hbar \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{6.1}
\]\[
[q_{k\lambda}^\dagger(t), p_{k'\lambda'}(t)]
= i\hbar \delta_{kk'} \delta_{\lambda\lambda'}
\tag{6.2}
\]


これ以外の組み合わせはすべて可換であるとする。
(6.2) は (6.1) のエルミート共役を取ると、自動的に成立。

このように決めると、以前に決めた A と P の交換関係

\[
[A_s, P'_{s'}] = i\hbar \delta_{ss'} \delta^3(r-r')
- \frac{i\hbar}{4\pi} \partial_{r_s} \partial_{r'_{s'}} \left( \frac{1}{|r-r'|} \right)
\tag{7}
\]

が導けることをこれから示していく。

明らかに、A 同士、 P 同士は可換。
A と P については、\[
[A_s, P'_{s'}] = \sum_{k\lambda} \sum_{k'\lambda'}
\left\{
[q_{k\lambda}, p_{k'\lambda'}^\dagger] u_{k\lambda,s} {u'}_{k'\lambda',s'}^*
+ [q_{k\lambda}^\dagger, p_{k',\lambda'}] u_{k\lambda,s}^* u'_{k'\lambda',s'}
\right\}
\tag{8}
\]P' や u' などのプライム記号は、座標 r' の関数であることを表す。
(6.1) と (6.2) を使うと、\[
[A_s, P'_{s'}] = i\hbar L^{-3} \sum_{k\lambda}
\varepsilon_{k\lambda,s} \varepsilon_{k\lambda,s'} \exp \{ i{\bf k} \cdot({\bf r-r'}) \}
\tag{9}
\]となる。
ただし、和は u と u* の項を合わせて、k 空間全体にわたって取るものとした。

便宜上、$\varepsilon_{k3} = {\bf k}/k$ を加えると、
λ=1,2,3 の ε は互いに直交するので、$(\varepsilon_{k1}, \varepsilon_{k2}, \varepsilon_{k3})$ は直交行列をなす。
これを転置したものも直交行列となるから、\[
\sum_{\lambda=1}^3 \varepsilon_{k\lambda,s} \varepsilon_{k\lambda,s'} = \delta_{ss'}
\tag{10}
\]となる。よって、λ=1, 2 に対する和は\[
\sum_{\lambda=1}^2 \varepsilon_{k\lambda,s} \varepsilon_{k\lambda,s'}
= \delta_{ss'} - \frac{k_s k_{s'}}{k^2}
\tag{11}
\]と表される。さらに、\[
k_s k_{s'} \exp\{i{\bf k}\cdot({\bf r-r'})\} = \partial_{r_s} \partial_{r'_{s'}} \exp\{i{\bf k}\cdot({\bf r-r'})\}
\tag{12}
\]および L → ∞ で\[
L^{-3} \sum_{k} \simeq (2\pi)^{-3} \int d^3k
\tag{13}
\]の関係を使って、(9)を計算すると、\[
[A_s, P'_{s'}] = i\hbar (2\pi)^{-3} \delta_{ss'} \int \exp\{ i{\bf k}\cdot({\bf r-r'}) \} d^3k \\
- i\hbar (2\pi)^{-3} \partial_{r_s} \partial_{r'_{s'}} \int \frac{1}{k^2} \exp\{ i{\bf k}\cdot({\bf r-r'}) \} d^3k
\tag{14}
\]
ここで、\[
(2\pi)^{-3} \int \exp\{ i{\bf k}\cdot({\bf r-r'}) \} d^3k = \delta^3({\bf r-r'})
\tag{15}
\]\[
(2\pi)^{-3} \int \frac{1}{k^2} \exp\{ i{\bf k}\cdot({\bf r-r'}) \} d^3k = \frac{1}{4\pi |{\bf r-r'}|}
\tag{16}
\]であるから、(7) の交換関係が得られる。

(15) は分かりますが、(16) はまだ確認していません。
後ほど、確認してみます。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2015/10/14 19:20
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