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k^-2 の3D逆フーリエ変換

前記事で宿題にした
$k^{-2}$ の3D逆フーリエ変換の公式を証明しておきます。

\[
\frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{1}{k^2} e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}} d^3k
= \frac{1}{4\pi r}
\tag{1}
\]


我流なので、正しいかどうかわかりませんし、もっと簡潔な証明があるかもしれません。

(証明)
k 空間での極座標を用いる。
極軸は任意に決められるから、r の方向を極軸に取ると、左辺の積分は\[
\int_0^\infty dk \int_0^\pi d\theta \frac{1}{k^2} e^{ikr\cos\theta} 2\pi k^2 \sin\theta
\tag{2}
\]となり、$\cos\theta = \xi$ とおくと、\[
2\pi \int_0^\infty dk \int_{-1}^1 d\xi e^{ikr\xi}
\tag{3}
\]と書き直せる。$\xi$ についての積分を実行して、\[
4\pi \int_0^\infty dk \frac{\sin kr}{kr}
\tag{4}
\]ここで、定積分の公式\[
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}
\tag{5}
\]を利用すると、(4) の値は $2\pi/r$ となり、
係数をつければ (1) を得る。
(証明終了)

結局、(5) の公式を証明しないと、単なる問題のすり替えですね(笑)

この公式は結構有名で、複素積分の留数定理を使えば示せるのですが、
少々面倒なので、また気が向いたときに書こうと思います^^;
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数学>公式 | コメント(0) | 2015/10/25 21:01
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