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級数の収束判定

複素の整級数の勉強をするために、
まず級数の収束判定について、まとめておきます。

絶対収束

絶対収束する級数は必ず収束する。
つまり、$\sum_n |a_n|$ が収束する時は、$\sum_n a_n$ は必ず収束する。
(逆は成り立たない)


(証明概略)
絶対値の数列の部分和はコーシー列だから、ある $n_0$ 以上の任意の n, m に対して
$|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon$ であり、
この時、$|a_n + a_{n+1} + \cdots + a_m| < \varepsilon$ となるから、
元の数列の部分和もコーシー列である。
(証明終了)

正項級数(項がすべて非負の実数)の収束判定

正項級数が収束するためには、
部分和の数列が上に有界であることが必要かつ十分である。


(証明概略)
正項級数の部分和は単調増加であるから、上に有界であれば収束する。
逆に、級数が収束すれば、有界である。
(証明終了)

正項級数 $\sum a_n$, $\sum b_n$ に関して、

(1) $a_n \leq b_n$ で $\sum b_n$ が収束するならば、$\sum a_n$ も収束。

(2) $a_n \geq b_n$ で $\sum b_n$ が発散するならば、$\sum a_n$ も発散。

(3) $a_{n+1}/a_n \leq b_{n+1}/b_n$ で $\sum b_n$ が収束するならば、$\sum a_n$ も収束。

(4) $a_{n+1}/a_n \geq b_{n+1}/b_n$ で $\sum b_n$ が発散するならば、$\sum a_n$ も発散。

ただし、条件は初めの有限項を除く
ある $n_0$ 以上のすべての n に対して言えればよい。


(証明概略)
(1) $\sum b_n$ の部分和は上に有界であるから、$\sum a_n$ の部分和も上に有界で、級数は収束する。
(2) $\sum a_n$ が収束すると仮定すると、(1) より $\sum b_n$ も収束するので、矛盾。
(3) \[\frac{a_n}{b_n} \leq \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}} \leq \cdots \leq \frac{a_0}{b_0}
\] より $a_n \leq (a_0/b_0) b_n$ だから、(1) から言える。
(4) $\sum a_n$ が収束すると仮定すると、(3) より $\sum b_n$ も収束するので、矛盾。
(証明終了)

正項級数 $\sum a_n$ に関して、

(1) $\sqrt[n]{a_n} \leq k \ ( 0 \leq k < 1 )$ ならば、$\sum a_n$ は収束。

(2) $\sqrt[n]{a_n} \geq k \ ( k > 1 )$ ならば、$\sum a_n$ は発散。

(3) $a_{n+1}/a_n \leq k \ ( 0 \leq k < 1 )$ ならば、$\sum a_n$ は収束。

(4) $a_{n+1}/a_n \geq k \ (k > 1 )$ ならば、$\sum a_n$ は発散。

ただし、条件は初めの有限項を除く
ある $n_0$ 以上のすべての n に対して言えればよい。


(証明概略)
$b_n = k^n$ として、上の性質を用いる。
(証明終了)

ratio test

正項級数 $\sum a_n$ に対して、\[
l = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
\]が存在する時、$l < 1$ ならば収束、$l > 1$ ならば発散する。


(証明概略)
$l < 1$ ならば、$l < k < 1$ なる k が存在し、
ある $n_0$ 以上のすべての n に対して、$a_{n+1}/a_n < k$。
$l > 1$ ならば、$l > k > 1$ なる k が存在し、
ある $n_0$ 以上のすべての n に対して、$a_{n+1}/a_n > k$。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/27 07:50
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