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整級数の収束半径 (2)

以下の極限が存在すれば、整級数の収束半径である。\[
\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = R \in [0, +\infty]
\]


(証明概略)
絶対値の級数 $\sum |a_n(z-a)^n|$ に ratio test を適用する。\[
l = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n+1}(z-a)^{n+1}}{a_n(z-a)^n} \right| = \frac{|z-a|}{R}
\]|z-a| < R ならば、l < 1 となり、絶対値の数列は収束(つまり絶対収束)。
収束半径を R' とすると、R ≦ R'。

|z-a| > R ならば、l > 1 となり、絶対値の数列は発散(つまり絶対収束しない)。
よって、R ≧ R'。
(証明終了)

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/28 19:49
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