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初等関数

このところ、数学が面白すぎて、完全に数学病です(笑)

さて、これまで整級数を見てきたのは、
指数関数や三角関数などの初等関数を整級数で解析的に定義したいから。

たとえば、三角関数を三角比からの類推で幾何学的に定義してしまうと、
解析性を調べる際にうまくいかないようです。

[1] に載っている例として、たとえば、
sin x の導関数が cos x であることを示すためには、\[
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]を示す必要があるが、
これは弧長が弦の長さに近づいていくことを表していて、
弧長を正しく定義しなくてはならない。
そのためには、積分が必要となり、
sin x の導関数が cos x であることが分かっていないといけない。

・・・というような循環論法が生じてしまいます。

そこで、解析的な定義をしなければならないということになるようです。

非常に納得ですが、高校生の時はそんなこと考えもしなかったなあ・・・
そのあたりが数学者になる人と僕のような凡人との違いですね^^;

で、[1] では初等関数を一つ一つ整級数で定義して、
指数関数や三角関数などのよく見慣れた性質を一つ一つ
解析的に導いていきます。

ここがすごく面白かったのですが、一つ一つ書いてると大変なので、
基本的に詳細記事は省略します。
導関数を調べるために、
「整級数が収束円板内で正則である」という証明もあったのですが、
これも一様収束とかをやってからの方が分かりやすいと思ったので、
省略したいと思います。

少し気になったことだけを次回、備忘録的に書いておこうと思います。


参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門I」(東大出版会)
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数学>解析 | コメント(0) | 2015/10/30 07:40
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