オイラーの公式の証明

初等関数の記事の最後で気になっていたことというのは
オイラーの公式の証明の話。

項を足す順番を入れ替えても大丈夫なんだろうか？
と以前から思っていたのですが、
今回スッキリ理解できたので、備忘録的に書き留めておきます。

ちなみに、オイラーの公式については、
過去記事で高校レベルでおよそ理解できるような証明を
いくつか紹介していますので、よろしければご覧ください。
（注：厳密な証明ではありません）

オイラーの公式 (2)
オイラーの公式 (3)
オイラーの公式 (4)

指数関数・三角関数の定義

\[
\exp z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}
\tag{1}
\]\[
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
\tag{2}
\]\[
\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}
\tag{3}
\]

どれも C 全体で絶対収束することは、前記事の式で収束半径を計算すると分かる。
たとえば、指数関数の場合、\[
R = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
= \lim_{n\rightarrow\infty} (n+1) = +\infty
\]
オイラーの公式

\[
\exp (iz) = \cos z + i\sin z
\tag{4}
\]

（証明）
左辺を定義 (1) を用いて書くと、\[
\exp(iz) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(iz)^n}{n!}
\tag{5}
\]２個ずつ項をまとめると、\[
\exp(iz) = \sum_{n=0}^\infty \left[
\frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
+ i \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}
\right]
\tag{6}
\]

気になる点その１
有限個の項をまとめてもよいのか？

部分和の数列で考えると、有限個の項をまとめるということは、
部分和の数列の部分列を取り出すことに相当する。
もとの数列が収束するならば、部分列も同じ値に収束するから問題ない。
（逆はダメだから、有限個に分解することはできない）

次に、級数を２つに分ければ、\[
\exp(iz) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
+ i \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}
\tag{7}
\]となり、(2)、(3) よりオイラーの公式 (4) を得る。

気になる点その２
級数を分けてもよいのか？（足す順番を変えてもよいのか？）

部分和を考えて、全体の級数の部分和を$S_n$、
それぞれの級数の部分和を$A_n$、$B_n$とおくと、\[
S_n = A_n + B_n
\]であり（有限項だから分けてよい）、
それぞれの級数の和を S, A, B とすると、
通常の数列の極限における\[
\lim S_n = \lim A_n + \lim B_n
\]が成立し、\[
S = A + B
\]が成立する。

（証明終了）

参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門Ｉ」（東大出版会）