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位相空間

ユークリッド空間 $R^n$ でのウォーミングアップを終えて、
いよいよ一般の位相空間に入ります!

$R^n$ での開集合の性質を抽出しておいて、
逆にその性質から一般的な「開集合」を定義して、
それを使って、「位相」なるものを定義するという論理。
なるほど、考えましたね!って感じですね。
脳みそ使いまくりますが、面白いです。

まず初めに定義をいろいろ。

位相空間(定義)

集合 S (空でない)の部分集合系 $\mathfrak{O}$ が以下の3条件を満たすとき、
$\mathfrak{O}$ は S に1つの位相構造を定めるという。
$\mathfrak{O}$ は S の1つの位相であるという。
$(S,\mathfrak{O})$ を位相空間と呼ぶ(略して、単に S とも書く)。
S を位相空間の台(台集合)という。

(O1) S 自身と空集合 $\phi$ は $\mathfrak{O}$ に属する。
(O2) $\mathfrak{O}$ の有限個の元の共通部分は$\mathfrak{O}$ に属する。
(O3) $\mathfrak{O}$ の元からなる集合族(無限でもよい)の和集合は $\mathfrak{O}$ に属する。


開集合(定義)

位相空間 $(S,\mathfrak{O})$ に対して、$\mathfrak{O}$ に属する集合を S の開集合と呼ぶ。


開核(内部)(定義)

位相空間 S の任意の部分集合 M に対して、
M に含まれる開集合全体の和集合を M の開核(内部) と呼び、
$M^\circ$ または $M^i$ と書く。
M に含まれる最大の開集合とも表現できる。

すなわち、以下の条件を満たすような集合である。
(1) $M^\circ \subset M$
(2) $M^\circ \in \mathfrak{O}$
(3) $O \subset M, O \in \mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^\circ$


開核の性質

(1) $M \in \mathfrak{O} \Leftrightarrow M^\circ = M$
(2) $M \subset N \Rightarrow M^\circ \subset N^\circ$


(証明概略)
(1) M が開集合であれば、M は M に含まれる最大の開集合である。
逆に、M が M の開核であれば、開核の定義より M は開集合である。
(2) M に含まれる最大の開集合は N にも含まれるので、
N に含まれる最大の開集合に含まれる。
(証明終了)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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位相空間 | コメント(0) | 2015/11/14 21:14
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