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開核作用子

開核作用子(定義)

S の部分集合 M にその開核 $M^\circ$ を対応させる写像を開核作用子と呼ぶ。


開核作用子の性質

(1) $S^\circ = S$
(2) $M^\circ \subset M$
(3) $(M \cap N)^\circ = M^\circ \cap N^\circ$
(4) $M^{\circ\circ} = M^\circ$


(証明概略)
(1) S は開集合である。
(2) 開核の定義から。
(3) $M\cap N$ に対して、$M^\circ \cap N^\circ$ がその開核になることを確かめる。
まず、$M^\circ \subset M$、$N^\circ \subset N$ より $M^\circ \cap N^\circ \subset M\cap N$。
$M^\circ$、$N^\circ$ ともに開集合であるから、$M^\circ \cap N^\circ$ も開集合。
$O \subset M \cap N$ なる任意の開集合 O を考えると、
$O \subset M$ より $O \subset M^\circ$、 $O \subset N$ より $O \subset N^\circ$。
よって、$O \subset M^\circ \cap N^\circ$。
(4) 開核の定義から $M^\circ$ は開集合である。
(証明終了)

逆に、上記4つの性質を満たす写像があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、その開核作用子と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
開核作用子を与えても位相構造を定めることができる。


証明は理解できましたが、長いので省略します。
(また気が向けば書くかもしれません)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
位相空間 | コメント(0) | 2015/11/17 20:09
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