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閉包作用子

閉包作用子(定義)

S の部分集合 M にその閉包 $\bar{M}$ を対応させる写像を閉包作用子と呼ぶ。


閉包作用子の性質

(1) $\bar{\phi} = \phi$
(2) $\bar{M} \supset M$
(3) $\overline{M \cup N} = \bar{M} \cup \bar{N}$
(4) $\bar{\bar{M}} = \bar{M}$


(証明概略)
松坂 [1] では、$M^{ca} = M^{ic}$ を用いて、開核の性質から導いているのですが、
ここでは我流で、閉包の定義に基づいた証明を試みることにします。

(1) $\phi$ は閉集合である。
(2) 閉包の定義から。
(3) $M \cup N$ に対して、$\bar{M} \cup \bar{N}$ がその閉包となることを確かめる。
$M \subset \bar{M}$、$N \subset \bar{N}$ より $M \cup N \subset \bar{M} \cup \bar{N}$。
$\bar{M}$、$\bar{N}$ は閉集合であるから、$\bar{M} \cup \bar{N}$ は閉集合。
A を $M \cup N$ を含む任意の閉集合とすると、
$M \subset A$ より $\bar{M} \subset A$。
$N \subset A$ より $\bar{N} \subset A$。
よって、$\bar{M} \cup \bar{N} \subset A$。
以上より、$\bar{M} \cup \bar{N}$ が $M \cup N$ の閉包であることが示される。
(4) $\bar{M}$ は閉集合である。
(証明終)

逆に、上記4つの性質を満たす写像があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、その閉包作用子と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
閉包作用子を与えても位相構造を定めることができる。


(証明略)

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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位相空間 | コメント(0) | 2015/11/22 22:05
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