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点の分類

内点(定義)
内部(開核)に属する点。

触点(定義)
閉包に属する点。

外部(定義)
補集合の内部(開核)。つまり、$M^{ci}$ のこと。
ここでは、$M^e$ と書くことにする。

外点(定義)
外部に属する点。

境界(定義)
閉包から内部を除いた部分。つまり、$\bar{M} - M^\circ$ のこと。
ここでは、$M^f$ と書くことにする。

境界点(定義)
境界に属する点。


位相空間全体は、内部と境界と外部に直和分割される。\[
S = M^\circ \cup M^f \cup M^e (直和)\]


(証明概略)
境界の定義より、閉包は内部と境界の直和である。
$M^{ac} = M^{ci} = M^e$ より位相空間全体は閉包と外部の直和である。
(証明終)

集積点(定義)
$M-\{ x \}$ の触点となるような点 $x \in S$ のこと。 $x \in \overline{M-\{ x \}}$
$x \not\in M$ ならば、「M の触点である」ことと同等。

孤立点(定義)
集合に属する点であって、その集積点ではない点。
$x \in M, x \not\in \overline{M-\{ x \}}$



参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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位相空間 | コメント(0) | 2015/11/24 20:30
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