点の分類

内点（定義）
内部（開核）に属する点。

触点（定義）
閉包に属する点。

外部（定義）
補集合の内部（開核）。つまり、$M^{ci}$ のこと。
ここでは、$M^e$ と書くことにする。

外点（定義）
外部に属する点。

境界（定義）
閉包から内部を除いた部分。つまり、$\bar{M} - M^\circ$ のこと。
ここでは、$M^f$ と書くことにする。

境界点（定義）
境界に属する点。

位相空間全体は、内部と境界と外部に直和分割される。\[
S = M^\circ \cup M^f \cup M^e　（直和）\]

（証明概略）
境界の定義より、閉包は内部と境界の直和である。
$M^{ac} = M^{ci} = M^e$ より位相空間全体は閉包と外部の直和である。
（証明終）

集積点（定義）
$M-\{ x \}$ の触点となるような点 $x \in S$ のこと。 $x \in \overline{M-\{ x \}}$
$x \not\in M$ ならば、「M の触点である」ことと同等。

孤立点（定義）
集合に属する点であって、その集積点ではない点。
$x \in M, x \not\in \overline{M-\{ x \}}$

参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」（岩波書店）