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近傍

近傍(定義)
S の点 x が $V (\subset S)$ の内点である時、
つまり、$x \in V^\circ$ である時、V は x の近傍であるという。
$x \in O, O \subset V$ なる開集合 O が存在することと同等である。

開近傍(定義)
開集合である近傍。
点 x を含む開集合はすべて x の開近傍である。

近傍系(定義)
近傍全体の集合系。
x の近傍系を ${\bf V}(x)$ と書くと、$V \in {\bf V}(x) \Leftrightarrow x \in V^\circ$


近傍系の性質

(1) $V \in {\bf V}(x)$ ならば $x \in V$
(2) $V \in {\bf V}(x), V \subset V'$ ならば $V' \in {\bf V}(x)$
(3) $V_1 \in {\bf V}(x), V_2 \in {\bf V}(x)$ ならば $V_1 \cap V_2 \in {\bf V}(x)$
(4) 任意の $V \in {\bf V}(x)$ に対して、以下を満たす $W \in {\bf V}(x)$ が存在。
   W の任意の点 y に対して、$V \in {\bf V}(y)$


(証明概略)
(1) $x \in V^\circ \subset V$
(2) $x \in V^\circ \subset {V'}^\circ$
(3) $x \in V_1^\circ \cap V_2^\circ = (V_1\cap V_2)^\circ$
(4) $x \in V^\circ$ より $W = V^\circ$ とすれば、W は開集合だから、x の近傍であり、
W の任意の点 y に対して $y \in W = V^\circ$
(証明終)

逆に、各点 x において、上記4つの性質を満たすような部分集合系 ${\bf V}(x)$ があれば、
ある位相 $\mathfrak{O}$ を導入して、それによる近傍系と一致させることができる。
このような位相は一意的に決まる。

これにより、開集合系を与える代わりに、
近傍系を与えても位相構造を定めることができる。


(証明略)


参考文献
[1] 松坂和夫 「集合・位相入門」(岩波書店)
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位相空間 | コメント(0) | 2015/11/25 07:14
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