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∫ 静電場

さっそく、電磁気学の復習をさらっと・・・

物質中はいろいろと難しいので、後回しにして、
すべて真空中で考えます。
仕事では物質中の方が重要なのですが(汗)、
とりあえず、相対論や場の量子論では真空中でよさそうなので・・・

今回は、静電場の話。

クーロンの法則
点電荷 q (位置x) が 点電荷 q'(位置x') から受ける静電気力は、
各電荷に比例して、距離 r の2乗に反比例する。
(向きまで考えて、単位ベクトル r/r を追加している)
\[
{\bf F} = k_1 q q' \frac{\bf r}{r^3}
\]ただし、\[
{\bf r} = {\bf x} - {\bf x'}
\]

これを電磁気学では、遠隔作用ではなく、「場」を介した近接作用の立場で理解する。
つまり、電荷 q' が xの位置に電場 E を作り、電荷 q は電場 E から力を受けると考える。
\[
{\bf F}({\bf x}) = q{\bf E}({\bf x})
\]\[
{\bf E} = k_1 q' \frac{\bf r}{r^3}
\]

電荷が連続的な密度分布ρ(x')の場合に拡張して、
\[
{\bf E}({\bf x}) = k_1 \int \rho({\bf x'}) \frac{\bf r}{r^3} d{\bf x'}
\]
以上が静電場の基本式。

恒等式
\[
\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\bf r}{r^3}
\]
を用いると、

\[
{\bf E}({\bf x}) = -\nabla \phi({\bf x})
\]\[
\phi({\bf x}) = k_1 \int \rho({\bf x'}) \frac{\bf r}{r} d{\bf x'}
\]
と変形できる。

この計算において、∇の演算は観測点 x に対する微分操作であり、
x' に対しては作用しないので、ρ(x')などは定数として扱えることに注意。

恒等式
\[
\nabla \times \nabla \phi = 0
\] より、\[
\nabla \times {\bf E}({\bf x}) = 0
\]
ただし、あくまでも、静電場の場合。
後述する誘導電場が入ると、この限りではない。
後に、電磁誘導の効果を入れたものが、マックスウェル方程式の第3式になる。

ストークスの定理から、任意の閉曲線C(内部の面をSとする)に対して、
\[
\int_C {\bf E}\cdot d{\bf s} = \int_S (\nabla\times{\bf E}) \cdot d{\bf S} = 0
\]
となるから、任意の2点間で電場がなす仕事は経路に依存しない。
つまり、電場は、保存力場であり、
位置エネルギー的な意味でのポテンシャルが定義できる。
φは静電場 E を与える静電ポテンシャル

そして、こんな論理展開は普通ないとは思うのですが、
答を知っているので、最速で行くために、
いきなり、電場の発散を計算します。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = -\nabla\cdot\nabla\phi = -\nabla^2 \phi
\]
となり、
\[
\nabla\cdot{\bf E} = -k_1 \int \rho({\bf x'}) \nabla^2 \frac{1}{r} d{\bf x'}
\]

ラプラシアンの部分は、デルタ関数を用いて、以下のように書き直せる。
(証明はこちらの記事
\[
\nabla^2\frac{1}{r} = -4\pi\delta({\bf r})
\]

これを用いて、
\[
\nabla\cdot{\bf E}({\bf x}) = 4\pi k_1 \rho({\bf x})
\]

これがマックスウェル方程式の第1式。

以上で、静電場は終了。
次は、静磁場を復習します。


参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

追記(2013/1/21)
今後の記事との統一性のために、
div, grad, rot をすべて、を用いた表記に変更しました。
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物理>電磁気学 | コメント(0) | 2012/12/05 18:53
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