スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スポンサー広告 | --/--/-- --:--

電磁場の量子化再論 (1)

これまで、シッフ [1] に基づいて、電磁場の量子化を見てきました。
実はまだ終わったわけではないのですが、
ここまでの道のりが長すぎて、頭の中を整理したくなったので、
サクライ [2] を参考にして、もう一度辿りたいと思います。

シッフ [1] は初めの前提から非常に丁寧に議論を進めてくれるので、
どういう手続きを行っているのかが分かりやすく、
すごく有用でした。
他にこういう本を僕は知りません。

しかし、その反面、長くなりすぎたため、
自分がどの段階にいるのかを見失いつつあります。

そこで、再度、サクライ [2] に基づいて、最短コースを歩んでみて、
見通しを深めたいと思っています。

まずは、前提として、電荷と電流のない自由電磁場($j_\mu = 0$)を考える。
適当なゲージ変換によって、横波条件を満たし、かつ
スカラーポテンシャルがゼロとなるようにできる。
 輻射ゲージ (1)輻射ゲージ(2)
\[
\nabla \cdot {\bf A} = 0
\tag{1}
\]\[
\phi = A_0 = 0
\tag{2}
\]満たすべきマックスウェル方程式は\[
\nabla^2 {\bf A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} = 0
\tag{3}
\]
電磁場を以下のようにフーリエ展開する。\[
{\bf A}({\bf x}, t) = V^{-1/2} \sum_{\bf k} \sum_{\alpha=1,2} \epsilon_{k\alpha}
\left[
c_{k\alpha}(t) e^{i{\bf k}\cdot{\bf x}}
+ c^*_{k\alpha}(t) e^{-i{\bf k}\cdot{\bf x}}
\right]
\tag{4}
\]
波数 k は、一辺 $L = V^{1/3}$ の箱において周期的境界条件を満たすとする
($k_x,k_y,k_z = 2n\pi/L$)
また、 A の実数性を考慮している。
$\epsilon_{k\alpha}$ はk ベクトルに対して、2種類の直交する偏光方向の単位ベクトルを表し、
$(\epsilon_{k,1}, \epsilon_{k,2}, {\bf k}/|{\bf k}|)$ はそれぞれ直交し、右手系をなすものとする。
これにより、横波条件 (1) も自動的に満たされている。

波動方程式 (3) を満たすことから、\[
c(t) = c(0) e^{-i\omega t}
\tag{5}
\]となる。ただし、$\omega = c|{\bf k}|$。

この表式を用いて、ハミルトニアン\[
H = \frac{1}{2} {\Large \int} ({\bf E}^2 + {\bf B}^2 ) d^3x
\tag{6}
\]を計算したい。

当初、サクライ [2] に基づき、(4) 式をそのまま代入して、
ベクトル解析の公式を駆使しながら、計算を進めていましたが、
あらかじめ、E と B を計算しておいてからやった方がやりやすいと思うので、
ここからしばらくは我流です。

電場 E と磁場 B を以下の式により計算する。\[
{\bf E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}
\tag{7.1}
\]\[
{\bf B} = \nabla \times {\bf A}
\tag{7.2}
\]
電場は、\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \epsilon |{\bf k}|
[c e^{i{\bf k \cdot x}} - c^* e^{-i{\bf k \cdot x}} ]
\tag{8}
\]となる。ここで、$\epsilon_{k\alpha}$ を $\epsilon$、$c_{k\alpha}(t)$ を c と略記した(光速の c ではないので、注意)

また、磁場は\[
{\bf B} = V^{-1/2} \sum_{k\alpha} \left[
c \nabla\times (\epsilon e^{i{\bf k\cdot x}}) + c^* \nabla\times (\epsilon e^{-i{\bf k\cdot x}})
\right]
\tag{9}
\]となり、\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \left[
c e^{i{\bf k\cdot x}} ({\bf k}\times \epsilon) - c^* e^{-i{\bf k\cdot x}} ({\bf k}\times\epsilon)
\right] \\
= iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} ({\bf k}\times \epsilon) \left[
c e^{i{\bf k\cdot x}} - c^* e^{-i{\bf k\cdot x}}
\right]
\tag{10}
\]となる。

ここからの計算である考え違いをしていて、思いっきり長考してしまったのですが、
それについては後ほど述べることにして、とりあえず、修正後の流れで計算を続けます。

まず、電場の方の項 $\int {\bf E}^2 d^3x$ を計算していく。\[
{\bf E}^2 = -V^{-1} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} \epsilon \epsilon' |{\bf k}| |{\bf k}'|
[c e^{i{\bf k\cdot x}} - c^* e^{-i{\bf k\cdot x}} ][c' e^{i{\bf k' \cdot x}} - c'^* e^{-i{\bf k' \cdot x}} ]
\tag{11}
\]ここで、プライム記号がついているものは、$k' \alpha'$ における量を表すものとする。

2項式の積の部分のみを展開すると、\[
cc' e^{i{\bf (k+k')\cdot x}} + c^*c'^* e^{-i{\bf (k+k') \cdot x}} - cc'^* e^{i{\bf (k-k')\cdot x}} - c^*c' e^{-i{\bf (k-k')\cdot x}}
\tag{12}
\]となる。

フーリエ基底の部分は、周期的境界条件の仮定より\[
V^{-1} \int e^{i({\bf k}-{\bf k}')\cdot {\bf x}} d^3x = \delta_{\bf kk'}
\tag{13}
\]となることに注意して、(12)を空間積分(さらに、$V^{-1}$を乗じる)すると、\[
cc' \delta_{\bf k,-k'}
+ c^*c'^* \delta_{\bf k,-k'}
- cc'^* \delta_{\bf kk'}
- c^*c' \delta_{\bf kk'}
\tag{14}
\]となる。

この式がゼロにならないのは、${\bf k} = \pm {\bf k'}$ の時のみであり、
このとき、$\omega = \omega'$ であることに注意して、
(11)を空間積分すると、\[
\int {\bf E}^2 d^3x
= \sum_k \sum_{\alpha\alpha'} |{\bf k}|^2 \times \\
[
2 \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{k\alpha'} c_{k\alpha}^* c_{k\alpha'}
- \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{-k,\alpha'} c_{k\alpha} c_{-k,\alpha'}
- \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{-k,\alpha'} c^*_{k\alpha} c^*_{-k,\alpha'}
]
\tag{15}
\]となる。

同様に、磁場の項を計算する。\[
{\bf B}^2 = -V^{-1} \sum_{k\alpha} \sum_{k'\alpha'} ({\bf k}\times \epsilon)({\bf k'}\times \epsilon')
[c e^{i{\bf k\cdot x}} - c^* e^{-i{\bf k\cdot x}} ][c' e^{i{\bf k' \cdot x}} - c'^* e^{-i{\bf k' \cdot x}} ]
\tag{16}
\]空間積分については、電場の場合と全く同じであるが、
偏光モードαに関する直交性が自明でないことに注意して、\[
\int {\bf B}^2 d^3x
= \sum_k \sum_{\alpha\alpha'} ({\bf k}\times \epsilon)({\bf k}\times \epsilon') [
c_k^* c'_k + c_k c'^*_k + c_k c'_{-k} + c^*_k c'^*_{-k}
]
\tag{17}
\]となる。プライム記号はα' に関するものであるという意味。

ここで、[] の中の符号が違っていることに注意。
これは、${\bf k'} = -{\bf k}$ の場合に、${\bf k'}\times\epsilon' = -{\bf k}\times\epsilon'$ から出てくる
マイナスによって、符号が反転したためである。

外積の部分については、公式を用いて、\[
({\bf k}\times\epsilon) ({\bf k}\times \epsilon')
= ({\bf k}\cdot{\bf k})(\epsilon\cdot\epsilon') - ({\bf k}\cdot\epsilon')(\epsilon\cdot{\bf k})
= |{\bf k}|^2 (\epsilon\cdot\epsilon')
\tag{18}
\]となり、偏光モードαに関して直交性を示すことが確かめられる。
ここで、$\epsilon\cdot{\bf k} = 0$ の直交性を用いた。

以上から、磁場の項は、\[
\int {\bf B}^2 d^3x
= \sum_k \sum_{\alpha\alpha'} |{\bf k}|^2 \times \\
[
2 \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{k\alpha'} c_{k\alpha}^* c_{k\alpha'}
+ \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{-k,\alpha'} c_{k\alpha} c_{-k,\alpha'}
+ \epsilon_{k\alpha} \epsilon_{-k,\alpha'} c^*_{k\alpha} c^*_{-k,\alpha'}
]
\tag{19}
\]となる。

最後に、(15) と (19) の結果を統合し、$\epsilon_{k\alpha}\cdot\epsilon_{k\alpha'} = \delta_{\alpha\alpha'}$ の直交性を用いると、
ハミルトニアンの最終形

\[
H = \sum_{k\alpha} 2|{\bf k}|^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{20}
\]

が得られる。

というわけで、ようやく、計算がうまくいきました・・・(汗)
たいして難しい計算じゃないはずなのに、思いっきりハマってしまいましたね^^;

どこでハマったかについては、いったん記事を分けて、
次の記事で書こうと思います。

参考文献
[1] シッフ 「量子力学」(下)
[2] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
スポンサーサイト
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/01/11 22:13
コメント

管理者のみに表示
« 長考 | HOME | ニュートリノ »

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。