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電磁場の量子化再論 (2) 長考の理由

世間では、ついに重力波が発見できて沸いていますが、
僕の中では一か月間探し求めていた計算間違いを発見できて沸いております(笑)

どこでハマっていたかと言いますと・・・

まず、前記事で求めた電場と磁場の表式。\[
{\bf E} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \epsilon |{\bf k}| [c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} ]
\tag{1}
\]\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} ({\bf k}\times \epsilon) \left[ c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} \right]
\tag{2}
\]
この磁場の式に出てくる ${\bf k}\times \epsilon$ の部分は、k と ε が直交して右手系をなすのだから、\[
{\bf k} \times \epsilon_1 = |{\bf k}| \epsilon_2
\tag{3.1}
\]\[
{\bf k} \times \epsilon_2 = -|{\bf k}| \epsilon_1
\tag{3.2}
\]とできるのではないかと。
そこで、$\zeta_1 = \epsilon_2$, $\zeta_2 = -\epsilon_1$ なる新たな単位ベクトル ζ を定義してやれば、\[
{\bf B} = iV^{-1/2} \sum_{k\alpha} \zeta |{\bf k}| [c e^{i{\bf kx}} - c^* e^{-i{\bf kx}} ]
\tag{4}
\]となって、電場の式 (1) とは単位ベクトルの方向が違うだけで、
まったく同じ式になってしまうのではないかと考えたわけです。

そうすると、${\bf E}^2$ も ${\bf B}^2$ も全く同じ値になるはずだから、
$c_k c_{-k}$ などの 2ω の項が消えてくれなくなってしまいます。
ここで、ずっと困っていたわけです。

よくよく考えてみると、(3) 式が間違っているわけですね。
実際は、k の向きが負になった場合は符号が反転するのです。

電場の方は、k に何が入っても、向きは ε の向きで固定です。
しかし、磁場の方は k と ε で決まる方向を向くわけだから、
k の向きが反転すると、反転するのですね。

その違いから、2ω 成分の符号が反転してくれて、
うまく消えてくれるというわけでした。

分かってしまうと単純な話ですが、ハマってるとなかなか抜けられないものですね・・・^^;

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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/02/15 07:00
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