電磁場の量子化再論 (4)

さて、先へ進みましょう。

以下のような量を定義。

\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{1.1}
\]\[
P_{k\alpha} = -\frac{i\omega}{c} (c_{k\alpha} - c^*_{k\alpha} )
\tag{1.2}
\]

記法はサクライ [1] に倣ってますが、c の文字がかぶるのがなんとも・・・(>_<
#わざわざ、c 使わなくてもよかったんだけど・・・

$c$, $c^*$ について解いて、\[
c_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q + \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{2.1}
\]\[
c^*_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q - \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{2.2}
\]

これを前記事のハミルトニアン\[
H = \sum_{k\alpha} 2 \left( \frac{\omega}{c} \right)^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{3}
\]（ただし、$|{\bf k}| = \omega/c$）に代入すると、

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{4}
\]

となる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"