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まだ不完全

先日、長考モードでようやく解決したかに見えた前記事の電磁場の量子化の計算ですが、
まだ不完全な気がしてきました(汗)

というのも、最終結果の\[
H = \sum_{k\alpha} 2|{\bf k}|^2 c^*_{k\alpha} c_{k\alpha}
\tag{1}
\]の $c_{k\alpha}$ は、$c_{k\alpha}(0)$ のことを指しているつもりでしたが、
これから、前記事のように 、\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{2}
\]などと定義して、正準変数としてやろうとすると、
時間に依存しないため、正準方程式を導けないではないですか。

ここでの $c_{k\alpha}$ は、 $c_{k\alpha}(0)$ ではなく、$c_{k\alpha}(t)$ でなくてはならないですね。
そもそも、\[
c_{k\alpha}(t) = c_{k\alpha}(0) e^{-i\omega t}
\tag{3}
\]だから、(1) のハミルトニアンは、c(t) でも成立するので、
そのまま読み変えちゃえばいいんですが、
最初から、c(t) で式変形した方がすっきりするのかもと思えてきました。

というわけで、また、前記事を修正しようと思っています。

行きつ戻りつでなかなか進みませんね・・・^^;
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つぶやき | コメント(2) | 2016/02/25 12:52
コメント
はじめまして
解析力学でしょうか?
昔少し独学で本を読んだことがあります。
その時は何となく理解したような気がしてたのですが、理学から離れて随分経ち、感覚として残っていないことが私として非常に無念なのです。
そこで、その式が何か日常的なことに例えて解釈を提示して頂けますと、「よし、また物理を考えよう」と、思えるような気がするんです。
何となくでも、教えて頂けないでしょうか。お願いします。
ふがいないぼくはつぶやくさんへ
はじめまして^^
コメントありがとうございます。

この記事は電磁場を量子化する話なのですが、
初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。

解析力学では、位置Qと運動量Pの一対の力学変数が
ハミルトンの運動方程式(正準方程式)を満たすことになりますが、
電磁場ではそのQやPが電磁場を表す変数になって、
力学とのアナロジーで考えていくことになります。

僕もまだ勉強中の身ですので、教えるなどはとんでもないことです。

電磁場の話ではなく、通常の古典的な解析力学ですと、
具体的にボールが放物線を描くような運動の軌跡などを
ラグランジアン、ハミルトニアンから導出してみると、
(ラグランジアンの積分が最小となるような経路を探す)
理解が深まるように思います。

そういう記事が書ければいいのですが・・・^^;

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