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電磁場の量子化再論 (5)

前記事で求めたハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{1}
\]

において、P, Q が正準変数となっていることを以下に示す。\[
Q_{k\alpha} = \frac{1}{c} (c_{k\alpha} + c^*_{k\alpha} )
\tag{2.1}
\]\[
P_{k\alpha} = -\frac{i\omega}{c} (c_{k\alpha} - c^*_{k\alpha} )
\tag{2.2}
\]および\[
\dot{c}_{k\alpha} = -i\omega c_{k\alpha}
\tag{3}
\]より、\[
\dot{Q}_{k\alpha} = P_{k\alpha}
\tag{4.1}
\]\[
\dot{P}_{k\alpha} = -\omega^2 Q_{k\alpha}
\tag{4.2}
\]が得られる。したがって、以下の正準方程式を満たす。

\[
\dot{Q}_{k\alpha} = \frac{\partial H}{\partial P_{k\alpha}}
\tag{5.1}
\]\[
\dot{P}_{k\alpha} = -\frac{\partial H}{\partial Q_{k\alpha}}
\tag{5.2}
\]



ハミルトニアン (1) は、質量を1とした時の調和振動子の集合のハミルトニアンに一致する。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/17 12:42
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