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電磁場の量子化再論 (6)

前記事でハミルトニアン

\[
H = \sum_{k\alpha} \frac{1}{2} ( P_{k\alpha}^2 + \omega^2 Q_{k\alpha}^2 )
\tag{1}
\]

において、P, Q は正準変数であることが分かったので、
以下の交換関係を適用して、正準量子化を行う。

\[
[Q_{k\alpha}, P_{k'\alpha'}] = i\hbar \delta_{kk'}\delta_{\alpha\alpha'}
\tag{2.1}
\]\[
[Q_{k\alpha}, Q_{k'\alpha'}] = [P_{k\alpha}, P_{k'\alpha'}] = 0
\tag{2.2}
\]

以下の演算子を導入する。

\[
a_{k\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{k\alpha} + iP_{k\alpha})
\tag{3.1}
\]\[
a^\dagger_{k\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{k\alpha} - iP_{k\alpha})
\tag{3.2}
\]


ここで、P, Q は実観測量に対応しているので、エルミート演算子であることに注意。
その結果、a と a+ はエルミート共役の関係になる。

P, Q を定義した式から\[
c_{k\alpha} = \frac{c}{2} \left( Q + \frac{iP}{\omega} \right)
\tag{4}
\]であるから、\[
c_{k\alpha} = c\sqrt{\hbar/2\omega} \times a_{k\alpha}
\tag{5}
\]の関係があることが分かり、a は c を無次化したものであることも確かめられる。
(2) の交換関係を用いると、a と a+ の交換関係は、以下のようになる。

\[
[a_{k\alpha}, a^\dagger_{k'\alpha'}] = \delta_{kk'}\delta_{\alpha\alpha'}
\tag{6.1}
\]\[
[a_{k\alpha}, a_{k'\alpha'}] = [a^\dagger_{k\alpha}, a^\dagger_{k'\alpha'}] = 0
\tag{6.2}
\]


ここで、数演算子 N を定義する。

\[
N_{k\alpha} = a^\dagger_{k\alpha} a_{k\alpha}
\tag{7}
\]


a との交換関係は以下のように計算できる。\[
[a, N'] = [a, {a^\dagger}' a'] = {a^\dagger}' [a, a'] + [a, {a^\dagger}']a' = \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a_{k\alpha}
\tag{8.1}
\]\[
[a^\dagger, N'] = [a^\dagger, {a^\dagger}' a'] = {a^\dagger}' [a^\dagger, a'] + [a^\dagger, {a^\dagger}']a'
= - \delta_{kk'} \delta_{\alpha\alpha'} a^\dagger_{k\alpha}
\tag{8.2}
\]ただし、$a'$ などは $a_{k'\alpha'}$ を表すと約束する。


参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/22 19:14
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