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電磁場の量子化再論 (7)

数演算子 N は\[
N^\dagger = (a^\dagger a)^\dagger = a^\dagger a = N
\tag{1}
\]よりエルミートであるから、実数固有値を持つ。
固有値 n に対する規格化された固有ケットを |n> と表記すると、

\[
N | n \rangle = n | n \rangle
\tag{2}
\]

状態 |n> に演算子 a や a+ を作用させたものについて考える。
前記事で導出した N と a の交換関係より、\[
N a |n\rangle = (aN - a) |n\rangle = (n-1) a|n\rangle
\tag{3.1}
\]\[
N a^\dagger |n\rangle = (a^\dagger N + a^\dagger) |n\rangle = (n+1) a^\dagger |n\rangle
\tag{3.2}
\]これらより、
a|n> は固有値 n-1 に対する固有状態、
a+|n> は固有値 n+1 に対する固有状態

を表すことが分かる。
すなわち、適当な係数を導入して、\[
a|n\rangle = c_- |n-1\rangle
\tag{4.1}
\]\[
a^\dagger|n\rangle = c_+ |n+1\rangle
\tag{4.2}
\]と表せる。
係数を求めるために、上式のノルムを考えると、\[
|c_-|^2 = \langle an|an \rangle = \langle n|a^\dagger a|n\rangle = \langle n|N|n\rangle = n
\tag{5.1}
\]\[
|c_+|^2 = \langle a^\dagger n|a^\dagger n\rangle = \langle n|aa^\dagger|n\rangle
= \langle n|(a^\dagger a +1)|n\rangle = n+1
\tag{5.2}
\]時刻 t=0 において、位相因子を 1 と決めると、

\[
a |n\rangle = \sqrt{n}| n-1 \rangle
\tag{6.1}
\] \[
a^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle
\tag{6.2}
\]

となる。
a は n を1下げた状態を作り、a+ は n を1上げた状態を作る働きをする。

一方で、\[
n = \langle n|N|n \rangle = \langle n|a^\dagger a|n \rangle \geq 0
\tag{7}
\]であるから、n は非負でなければならない。
しかし、a を連続的に施して、n を下げていく過程を考えると、
n は整数でなければ、無限に n の小さい状態が生成され、
いずれは n が負となり、上記に矛盾することが分かる。

n が整数ならば、n = 0 で (6.1) 式は\[
a|0\rangle = 0
\tag{8}
\]となり、これ以上低い状態は作られないため、 |0> が最低の状態となる。
状態 |n> を作るには、状態 |0> に a+ を n 回施せばよいので、\[
|n\rangle = \frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle
\tag{9}
\]
すべてのモードに関して考えるには、状態を各モードの直積で表せばよい。\[
|n_{k_1\alpha_1}, n_{k_2\alpha_2}, \cdots \rangle
= |n_{k_1\alpha_1} \rangle |n_{k_2\alpha_2} \rangle \cdots
\tag{10}
\]すべてのモードが $n_{k\alpha} = 0$ になっている状態を\[
|0\rangle = |0_{k_1\alpha_1} \rangle |0_{k_2\alpha_2} \rangle \cdots
\tag{11}
\]と書くことにすると、

\[
|n_{k_1\alpha_1}, n_{k_2\alpha_2}, \cdots \rangle
= \prod_{k\alpha} \frac{(a_{k\alpha}^\dagger)^n}{\sqrt{n_{k\alpha}!}} |0\rangle
\tag{12}
\]

と表せる。

参考文献
[1] J. J. Sakurai "Advanced Quantum Mechanics"
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電磁場の量子化 | コメント(0) | 2016/03/25 20:12
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