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群の定義

以前から細々と代数系の勉強もしていて、
「群・環・体」の定義がようやく頭に入ってきたところです。
そこで、まとめておこうと思います。

(定義)

集合 G (≠Φ)上で G x G の演算が定義されていて、
以下の条件を満たすとき、G はであるという。

(G1) 閉性
 すべての $a, b \in G$ に対して、$ab \in G$。

(G2) 結合法則
 すべての $a,b,c \in G$ に対して、$(ab)c = a(bc)$ が成り立つ。

(G3) 単位元の存在
  ある元 $e \in G$ が存在して、すべての元 $a \in G$ に対して、$ae = ea = a$ となる。
  単位元は群に対して一意的であり、1 と書く。

(G4) 逆元の存在
  任意の元 $a \in G$ に対して、ある元 $b \in G$ が存在して、$ab = ba = e$ を満たす。
  逆元は与えられた元に対して一意的に決まり、$a^{-1}$ と書く。


(注)通常、(1) は演算の前提であって、群の公理としては (2)~(4) の3つを書くことが多いが、
   群かどうかのチェックをするのに、(1) も要件になるので、あえて、4つの条件とした。

単位元の一意性
$e = ee' = e'$

逆元の一意性
$b = be = b(ab') = (ba)b' = eb' = b'$

可換群(アーベル群、加法群)(定義)

上記に加えて、交換法則を満たす。
(G5) 交換法則
  すべての $a,b \in G$ に対して、$ab = ba$

 このとき、$ab$ を $a+b$ とも書き、単位元を 0、a の逆元を -a と書く。



群の位数(定義)

群 G の元の個数を G の位数と呼び、$|G|$ と表記する。
位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群と呼ぶ。




参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/03/31 19:52
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