環の定義

環（定義）

集合 A に加法・乗法の２つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、Ａ は環であるという。

(R1) 加法に関して、可換群をなす。
　　単位元を 0 と書き、a の逆元を -a と書く。

(R2) 乗法に関して、結合法則が成り立つ。
　　すべての $a,b,c \in A$ に対して、$(ab)c = a(bc)$。

(R3) 分配法則
　　すべての $a,b,c \in A$ に対して、
　　$a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。

(R4) 乗法に関して、単位元 1 が存在。
　　すべての $a \in A$ に対して、$1a = a1 = a$。

可換環（定義）

上記に加えて、乗法に関しても交換法則を満たす。
(R5) 乗法に関する交換法則
　　　すべての $a,b \in A$ に対して、$ab = ba$。

０ の性質

任意の $a \in A$ に対して、$0a = a0 = 0$。

（証明）
$(0+0)a = 0a$ より、分配法則を用いて、$0a + 0a = 0a$。
両辺に -0a を加えると、$0a = 0$。
$a0 = 0$ に関しても同様。
（証明終了）

自明な環

$0=1$ ならば、元として、0 (=1) のみを持つ自明な環となる。

（証明）
任意の元 a に対して、$a = 1a = 0a = 0$。（証明終了）

単元・乗法群

乗法に関して逆元を持つ元を単元（可逆元・正則元）と呼び、
環 A の単元をすべて集めた集合を $A^\times$ と表記する。

$A^\times$ は乗法に関して群をなす。

（証明）
(G1) 閉性。任意の単元 a, b の積 $ab$ は逆元 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ を持つから、単元。
(G2) 結合法則は、環の定義より成立。
(G3) 単位元 1 の逆元は1 であるから、1 は単元である。
(G4) 逆元。任意の単元 a に対して、逆元 $a^{-1}$ の逆元は a 自身であるので、$a^{-1}$ も単元である。
（証明終了）

参考文献
[1] 雪江明彦　「代数学１　群論入門」（日本評論社）
[2] 森田康夫　「数学選書９　代数概論」（裳華房）