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環の定義

(定義)

集合 A に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、A はであるという。

(R1) 加法に関して、可換群をなす。
  単位元を 0 と書き、a の逆元を -a と書く。

(R2) 乗法に関して、結合法則が成り立つ。
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、$(ab)c = a(bc)$。

(R3) 分配法則
  すべての $a,b,c \in A$ に対して、
  $a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。

(R4) 乗法に関して、単位元 1 が存在。
  すべての $a \in A$ に対して、$1a = a1 = a$。



可換環(定義)

上記に加えて、乗法に関しても交換法則を満たす。
(R5) 乗法に関する交換法則
   すべての $a,b \in A$ に対して、$ab = ba$。



0 の性質

任意の $a \in A$ に対して、$0a = a0 = 0$。

(証明)
$(0+0)a = 0a$ より、分配法則を用いて、$0a + 0a = 0a$。
両辺に -0a を加えると、$0a = 0$。
$a0 = 0$ に関しても同様。
(証明終了)

自明な環

$0=1$ ならば、元として、0 (=1) のみを持つ自明な環となる。

(証明)
任意の元 a に対して、$a = 1a = 0a = 0$。(証明終了)

単元・乗法群

乗法に関して逆元を持つ元を単元(可逆元・正則元)と呼び、
環 A の単元をすべて集めた集合を $A^\times$ と表記する。

$A^\times$ は乗法に関して群をなす。

(証明)
(G1) 閉性。任意の単元 a, b の積 $ab$ は逆元 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ を持つから、単元。
(G2) 結合法則は、環の定義より成立。
(G3) 単位元 1 の逆元は1 であるから、1 は単元である。
(G4) 逆元。任意の単元 a に対して、逆元 $a^{-1}$ の逆元は a 自身であるので、$a^{-1}$ も単元である。
(証明終了)

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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群・環・体の定義 | コメント(0) | 2016/04/10 23:20
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