環の定義
集合 A に加法・乗法の2つの演算が定義されていて、
以下の条件を満たす時、A は環であるという。
(R1) 加法に関して、可換群をなす。
単位元を 0 と書き、a の逆元を -a と書く。
(R2) 乗法に関して、結合法則が成り立つ。
すべての $a,b,c \in A$ に対して、$(ab)c = a(bc)$。
(R3) 分配法則
すべての $a,b,c \in A$ に対して、
$a(b+c) = ab + ac$、$(a+b)c = ac + bc$。
(R4) 乗法に関して、単位元 1 が存在。
すべての $a \in A$ に対して、$1a = a1 = a$。
可換環(定義)
上記に加えて、乗法に関しても交換法則を満たす。
(R5) 乗法に関する交換法則
すべての $a,b \in A$ に対して、$ab = ba$。
0 の性質
(証明)任意の $a \in A$ に対して、$0a = a0 = 0$。
$(0+0)a = 0a$ より、分配法則を用いて、$0a + 0a = 0a$。
両辺に -0a を加えると、$0a = 0$。
$a0 = 0$ に関しても同様。
(証明終了)
自明な環
(証明)$0=1$ ならば、元として、0 (=1) のみを持つ自明な環となる。
任意の元 a に対して、$a = 1a = 0a = 0$。(証明終了)
単元・乗法群
(証明)乗法に関して逆元を持つ元を単元(可逆元・正則元)と呼び、
環 A の単元をすべて集めた集合を $A^\times$ と表記する。
$A^\times$ は乗法に関して群をなす。
(G1) 閉性。任意の単元 a, b の積 $ab$ は逆元 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ を持つから、単元。
(G2) 結合法則は、環の定義より成立。
(G3) 単位元 1 の逆元は1 であるから、1 は単元である。
(G4) 逆元。任意の単元 a に対して、逆元 $a^{-1}$ の逆元は a 自身であるので、$a^{-1}$ も単元である。
(証明終了)
参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)