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生成元・巡回群・元の位数

(定義)

群 G の部分集合 S の元 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ を用いて、
以下の形で表された G の元を S の元によるという。\[
x_1^{\pm 1} x_2^{\pm 2} \cdots x_n^{\pm 1}
\]$x_i$ は重複していてもよい。
$\pm 1$ は +1 か -1 のいずれかを選択する。
n = 0 の場合も含み、その場合は、単位元 1 を表すものとする。


生成された部分群

S の元による語全体の集合を < S > と書く。
< S > は G の部分群となる。
このとき、< S > を S によって生成された部分群と呼び、
S を生成系、S の元を生成元と呼ぶ。

(証明)
閉性と結合法則は明らか。語の定義より、単位元 1 を含む。
逆元は、$x_n^{\mp 1} \cdots x_1^{\mp 1}$ である。
(証明終了)

巡回群(定義)

一つの元で生成された群。
ある元 a が存在して、すべての元が $a^n (n\in \mathbb{Z})$ の形で表される。


元の位数(定義)

群 G の元 a に対して、$a^n = 1$ となる最小の正の整数。
n が存在しなければ、∞とする。



参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/15 12:00
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