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群の準同型・同型

準同型・同型(定義)

群 G, G' に対して、写像 $\phi : G \rightarrow G'$ が定義されていて、
G の任意の元 $x, y \in G$ に対して、以下を満たす時、Φは準同型であるという。\[
\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)
\]さらに、Φの逆写像が存在して、逆写像も準同型の場合、Φは同型であるといい、
G と G' は同型であるという。$G \simeq G'$ と書く。


準同型が全単射なら、同型である。

(証明)
準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ が全単射とすると、逆写像 $\psi : G' \rightarrow G$ が存在。
任意の $x, y \in G'$ に対して、\[
\phi(\psi(x)\psi(y)) = \phi(\psi(x)) \phi(\psi(y)) = xy = \phi(\psi(xy))
\]Φは単射であるから、$\psi(x)\psi(y) = \psi(xy)$ となり、ψも準同型。
(証明終了)

$\phi : G\rightarrow G'$ を準同型とする。
(1) $\phi(1) = 1'$
(2) 任意の $x \in G$ に対して、$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$

(証明)
(1) $\phi(1) = \phi(1 \cdot 1) = \phi(1) \phi(1)$ より $\phi(1) = 1'$。
(2) $\phi(x) \phi(x^{-1}) = \phi(xx^{-1}) = \phi(1) = 1'$。同様に $\phi(x^{-1}) \phi(x) = 1'$。
(証明終了)

核・像(定義)

準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ に対して、
以下の集合をと呼ぶ。\[
{\rm Ker}(\phi) = \{ x\in G | \phi(x) = 1 \}
\]また、以下の集合をと呼ぶ。\[
{\rm Im}(\phi) = \{ \phi(x) | x \in G \}
\]


核・像は部分群である。

(証明)
準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ について、Ker(Φ)が群であることを示す。
(1) 閉性。$x,y \in {\rm Ker(\phi)}$ に対して、$\phi(xy) = \phi(x)\phi(y) = 1'1' = 1'$。
(2) 結合法則は明らか。
(3) 単位元。$\phi(1) = 1'$ より $1 \in {\rm Ker}(\phi)$。
(4) 逆元。$ x \in {\rm Ker}(\phi)$ に対して、$\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = 1'$。

準同型 $\phi : G \rightarrow G'$ について、Im(Φ)が群であることを示す。
(1) 閉性。$x',y' \in {\rm Im(\phi)}$ に対して、$\phi(x) = x'$, $\phi(y) = y'$ なる x, y が G に存在。
  $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y) = x'y'$ より、 $x'y' \in {\rm Im}(\phi)$。
(2) 結合法則は明らか。
(3) 単位元。$\phi(1) = 1'$ より $1' \in {\rm Im}(\phi)$。
(4) 逆元。$x' \in {\rm Im}(\phi)$ に対して、$x' = \phi(x)$ なる x が G に存在。
  $\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} = x'^{-1}$ より、$x'^{-1} \in {\rm Im}(\phi)$。
(証明終了)

参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/15 23:45
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