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∫ 静磁場 (2)

静磁場の続き。

磁場の回転を計算する。
\[
\begin{eqnarray}
& & \nabla \times {\bf B} \\
&=& \nabla \times \nabla \times {\bf A} \\
&=& \nabla (\nabla \cdot {\bf A}) - \nabla^2 {\bf A}
\end{eqnarray}
\tag{1}
\]

これに、前回得られたベクトルポテンシャルの表式
\[
{\bf A}({\bf x}) = k_2\alpha \int \frac{{\bf j}({\bf x'})}{r} d{\bf x'} \tag{2}
\]
を代入して、計算する。

まず、第一項については、
\[
\nabla\cdot \frac{\bf j}{r} = {\bf j}\cdot \nabla \frac{1}{r}
= -{\bf j}\cdot \nabla'\frac{1}{r} \tag{3}
\]

最後の変形では、
\[
\nabla \frac{1}{r} = -\nabla' \frac{1}{r} \tag{4}
\]
を用いた。
(∇' は x' に関する微分操作)

\[
\begin{eqnarray}
& & \nabla\cdot {\bf A} \\
&=& k_2\alpha \int \nabla\cdot \frac{\bf j}{r} d{\bf x'} \\
&=& -k_2\alpha \int {\bf j}\cdot \nabla'\frac{1}{r} d{\bf x'}
\end{eqnarray}
\tag{5}
\]

部分積分を用いて、無限遠では、j=0と仮定すると、表面積分の項は消えて、
\[
\nabla\cdot{\bf A} = -k_2\alpha \int \frac{\nabla'\cdot{\bf j}}{r} d{\bf x'} \tag{6}
\]

う~ん、なんか、ここ、式としては理解できてますが、
どうも、あんまり腑に落ちません(汗)
「無限遠で j=0」ということがそんなに本質的なことなんだろうか???
それはさておき、次へ進みます。

ここで、定常電流(時間依存しない)のみを考えることにすると、
\[
\nabla'\cdot{\bf j} = 0 \tag{7}
\]
となるから、第一項はゼロとなる。

第二項は・・・
\[
\nabla^2{\bf A} = k_2\alpha \int {\bf j} \nabla^2\frac{1}{r} d{\bf x'} \tag{8}
\]

以前、証明したデルタ関数の公式
\[
\nabla^2 \frac{1}{r} = -4\pi\delta({\bf r}) \tag{9}
\]
を用いると、最終的に、磁場の回転は、
\[
\nabla \times {\bf B}({\bf x}) = 4\pi k_2\alpha {\bf j}({\bf x}) \tag{10}
\]
となる。

さらに電荷保存則を満たすために、
マックスウェルの変位電流の項が付け加えられることになるが、
それについては、次回。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
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物理>電磁気学 | コメント(0) | 2013/01/28 23:41
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