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正規部分群・剰余群

正規部分群(定義)

群 G の部分群 N が 任意の $a \in G$ に対して、$aNa^{-1} \subset N$ である時、
N を G の正規部分群であるといい、$N \lhd G$ と書く。


正規部分群の条件は、以下と同値である。
(1) $aNa^{-1} = N$
(2) $aN = Na$

(証明)
(1) 任意の $a \in G$ に対して、$aNa^{-1} \subset N$ であれば、
  $aNa^{-1} \supset N$ でもあることを示せばよい。
  $a^{-1}$ も G の元であるから、$a^{-1}Na \subset N$。
  左から a、右から $a^{-1}$ をかけて、$N \subset aNa^{-1}$。
(2) (1) に右から a をかければよい。
(証明終了)

以下は、明らかである。

可換群の部分群はすべて正規部分群である。

(証明) 可換であれば、$aNa^{-1} = aa^{-1}N = N$ (証明終了)

正規部分群に対する左右の剰余類は一致する。

(証明) $aN = Na$ より明らか。(証明終了)

剰余類の積(定義)
まず、aN と bN の部分集合としての積を考える。
$(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = abNN = abN$

これにより、類 aN の元と 類 bN の元の積はすべて、類 abN の元となり、
代表元 a, b の選び方によらないことが分かる。

そこで、G/N の元としての $aN, bN \in G/N$ に対して、

\[
G/N \times G/N \ni (aN, bN) \mapsto (ab)N \in G/N
\]


なる写像を well-defined に定義することができ、
それにより剰余類における積を以下のように定義する。

\[
(aN)\cdot(bN) = (ab)N
\]


剰余群(定義)

上記のように定義された積により、G/N は群となる。これを剰余群と呼ぶ。

(証明)
(1) 閉性。群 G の閉性より明らか。
(2) 結合法則。$(aN\cdot bN)\cdot cN = abN\cdot cN = (ab)cN$
  $= a(bc)N = aN\cdot bcN = aN\cdot(bN\cdot cN)$
(3) 単位元は $1\cdot N = N$。
(4) aN に対する逆元は、$a^{-1}N$。
(証明終了)

整数の加法による群
例として、整数の群 $\mathbb{Z}$ を考える。
加法演算に対して、整数 $\mathbb{Z}$ は可換群となる。
単位元は 0 で、a に対する逆元は -a。

正の整数 n に対して、$n\mathbb{Z} = \{ nm | m \in \mathbb{Z} \}$ も可換群であり、
$\mathbb{Z}$ の正規部分群となる。
その結果、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は加法に対して群となる。

例として、n = 3 とすると、\[
3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots \}
\]は、3の倍数の集合を表す正規部分群。
この正規部分群で分類した剰余類は、\[
3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots \} = \bar{0} \\
1+3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -5, -2, 1, 4, 7, \cdots \} = \bar{1} \\
2+3\mathbb{Z} = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots \} = \bar{2} \\
\]の3種類となり、\[
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2} \}
\]は群となる。

例えば、$\bar{0} + \bar{1} = \overline{0+1} = \bar{1}$ のようになるので、$\bar{0}$ は単位元である。
また、$\bar{1} + \bar{2} = \overline{1+2} = \bar{3} = \bar{0}$ なので、$\bar{2}$ は$\bar{1}$ の逆元である。


参考文献
[1] 雪江明彦 「代数学1 群論入門」(日本評論社)
[2] 森田康夫 「数学選書9 代数概論」(裳華房)
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
数学>代数系・群論 | コメント(0) | 2016/04/18 23:25
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