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球面調和関数 (2)

久しぶりに、球面調和関数の続き。

\[
Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} } P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\tag{1}
\]


$Y_{lm}$ と $Y_{l,-m}$ の関係

\[
Y_{l,-m}(\theta,\phi) = (-1)^m Y_{lm}(\theta,\phi)^*
\tag{2}
\]

(証明)
(1) の定義式より\[
Y_{l,-m} = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} } P_l^{-m}(\cos\theta) e^{-im\phi}
\tag{3}
\]ルジャンドル陪関数の関係式\[
P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x)
\tag{4}
\]を用いると、\[
Y_{l,-m} = (-1)^m(-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} } P_l^m(\cos\theta) e^{-im\phi}
\tag{5}
\]となり、(2) が得られる。
(証明終了)

空間反転のパリティ

\[
Y_{lm}(\pi-\theta, \phi+\pi) = (-1)^l Y_{lm}(\theta,\phi)
\tag{6}
\]

(証明)
ルジャンドル陪関数の性質から、$\cos\theta$ の符号反転に対して、
$P_l^m(\cos\theta)$ の部分は、$(-1)^{l+m}$ のパリティを持つ。
$e^{im\phi}$ の部分は、$(-1)^m$ のパリティを持つ。
以上より、全体では、$(-1)^l$ のパリティを持つ。
(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/04/19 22:11
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