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球面調和関数 (3)

直交性

全立体角にわたる積分において直交性を示す。\[
\int Y_{lm}(\theta,\phi)^* Y_{l'm'}(\theta,\phi) d\Omega \\
= \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi Y_{lm}(\theta,\phi)^* Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{ll'}\delta_{mm'}
\tag{1}
\]

(証明)まず、Φに依存する因子は、$e^{im\phi}$ のみであるから、
Φについての積分の因子だけを取り出すと、\[
\int_0^{2\pi} e^{i(m'-m)\phi} d\phi = 2\pi\delta_{mm'}
\tag{2}
\]となり、$m\neq m'$ の時は、l の値によらずに、全体の積分も 0 になる。
以降、m = m' の時のみを考えればよい。
θに関しては、$\cos\theta = x$ とおくと、\[
\int_0^\pi \sin\theta d\theta = \int_{-1}^1 dx
\tag{3}
\]と置き換えられる。ここで、ルジャンドル陪関数の l に対する直交性\[
\int_{-1}^1 P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{l l'}
\tag{4}
\]を用いると、m=m' の時の積分の値は $\delta_{ll'}$ となる。
$m \neq m'$ の場合と合わせて、(1) となる。
(証明終了)

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[数学
球面調和関数 | コメント(0) | 2016/04/21 00:00
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