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球面調和関数 (5)

微分方程式

球面調和関数は以下の微分方程式の解である。\[
\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + l(l+1)
\right] Y_{lm}(\theta,\phi) = 0
\tag{1}
\]

(証明)前記事の漸化式
\[
e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l-m)(l+m+1)} Y_{l,m+1}
\tag{2}
\]\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm} = \sqrt{(l+m)(l-m+1)} Y_{l,m-1}
\tag{3}
\]を用いる。(3) のインデックス m を1増やすと、\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{l,m+1} = \sqrt{(l+m+1)(l-m)} Y_{l,m}
\tag{4}
\](2) より $Y_{l,m+1}$ について解いた式を代入すると、\[
e^{-i\phi} (-\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi) Y_{lm}
= (l-m)(l+m+1) Y_{lm}
\tag{5}
\]左辺を整理する。\[ \left[
-\partial_\theta (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ i\cot\theta e^{-i\phi}\partial_\phi e^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
\right] Y_{lm}
\tag{6}
\]このうち第一項は、\[
-\partial^2_\theta + \frac{i}{\sin^2\theta} \partial_\phi - i\cot\theta \partial_\theta \partial_\phi
\]第二項の $\partial_\phi$ 以降は、\[
ie^{i\phi} (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ e^{i\phi} \partial_\theta \partial_\phi
+ ie^{i\phi} \cot\theta \partial_\phi^2
\]となり、(6) は\[ \left[
-\partial^2_\theta + \frac{i}{\sin^2\theta} \partial_\phi - i\cot\theta \partial_\theta \partial_\phi \\
+i\cot\theta \left\{
i (\partial_\theta + i\cot\theta \partial_\phi)
+ \partial_\theta \partial_\phi
+ i\cot\theta \partial_\phi^2
\right\}
\right] Y_{lm}
\]となり、さらに、\[
\left[ -\partial^2_\theta - \cot\theta \partial_\theta + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
\tag{7}
\]と変形できる。
ここで、恒等式\[
\partial^2_\theta + \cot\theta \partial_\theta = \frac{1}{\sin\theta} \partial_\theta (\sin\theta \partial_\theta)
\tag{8}
\]を利用すると、(7) は\[
\left[ -\frac{1}{\sin\theta}(\sin\theta \partial_\theta) + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
\tag{9}
\]と整理される。

一方、(5) の右辺を展開すると、\[
[l(l+1) - m^2 - m] Y_lm
\tag{10}
\]となり、球面調和関数の性質\[
\partial_\phi Y_{lm} = im Y_{lm}
\tag{11}
\]を利用すると、\[
\left[ l(l+1) + \partial^2_\phi + i\partial_\phi \right] Y_{lm}
\tag{12}
\]とできるので、結局、(5) は、\[
\left[ -\frac{1}{\sin\theta}(\sin\theta \partial_\theta) + i\partial_\phi - \cot^2\theta \partial^2_\phi \right] Y_{lm}
= \left[ l(l+1) + \partial^2_\phi + i\partial_\phi \right] Y_{lm}
\tag{13}
\]となる。
これを整理すると、(1) を得る。
(証明終了)

なんだか、ごちゃごちゃしてますね。
もうちょっとすっきりと証明できそうな気もするのですが・・・

参考文献
[1] 小野寺嘉孝「物理のための応用数学」
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球面調和関数 | コメント(0) | 2016/05/11 22:24
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