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媒質中のマックスウェル方程式 (1) へヴィサイド・ローレンツ

媒質(誘電体・磁性体)中におけるマックスウェル方程式について、まとめておきます。

真空中の時と同様、単位系に依存しない形にまとめられないだろうかと思ったのですが、
難しいようですね。
やむをえないので、主に使おうと思っている HL と MKSA の2つの単位系で
個別に導きたいと思います。

まずは、HL単位系の場合。

真空中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \rho
\tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{1.4}
\]


まず、(1.1)は、誘電体中では電荷に分極電荷 $\rho' = -\nabla\cdot {\bf P}$ が追加されるため、
\[
\nabla \cdot {\bf E} = \rho - \nabla \cdot {\bf P}
\tag{2}
\]に置き換わる。ここで、\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{3}
\]と定義すると、(2)式は\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{4}
\]と書き換えられる。

次に、(1.2)は磁性体中では電流に磁化電流 ${\bf j}' = c\nabla \times {\bf M}$ が追加されるため、
\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c} + \nabla\times{\bf M}
\tag{5}
\]に変わる。ここで、\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{6}
\]を定義すると、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{7}
\]と書き換えられる。
さらに、$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H} = 0$ と電荷保存則 $\nabla\cdot {\bf j} + \partial \rho/\partial t = 0$ が両立するために、\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{8}
\]と書き換えられる。
残りの2式は電荷も電流もからまないので、変更なし。

以上をまとめると、マックスウェル方程式は、以下のようになる。

\[
\nabla \cdot {\bf D} = \rho
\tag{9.1}
\]\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = \frac{\bf j}{c}
\tag{9.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0
\tag{9.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0
\tag{9.4}
\]

新たに導入された物理量の定義は以下の通り。

\[
{\bf D} = {\bf E} + {\bf P}
\tag{10.1}
\]\[
{\bf H} = {\bf B} - {\bf M}
\tag{10.2}
\]



参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/24 22:00
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