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媒質中のマックスウェル方程式 (2) MKSA

前記事に続いて、媒質(誘電体・磁性体)中におけるマックスウェル方程式を
MKSA単位系の場合について求めます。

真空中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1.1}
\]\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \mu_0 {\bf j} \tag{1.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{1.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{1.4}
\]



(1.1)について、分極電荷は同じく $\rho' = -\nabla\cdot{\bf P}$ であるから、\[
\nabla\cdot{\bf E} = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho - \nabla\cdot{\bf P})
\tag{2}
\]となる。ここで、\[
{\bf D} = \varepsilon_0{\bf E} + {\bf P}
\tag{3}
\]と定義すれば、\[
\nabla\cdot{\bf D} = \rho
\tag{4}
\]と書き換えられる。

(1.2)については、MKSA単位系では磁荷電流は ${\bf j}' = \nabla\times{\bf M}$ となるため、\[
\nabla\times{\bf B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = \mu_0 ({\bf j} + \nabla\times{\bf M})
\tag{5}
\]と置き換わる。ここで、\[
{\bf H} = \frac{\bf B}{\mu_0} - {\bf M}
\tag{6}
\]と定義すると、\[
\nabla\times{\bf H} - \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} = {\bf j}
\tag{7}
\]と書き換えられる。
さらに、$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H} = 0$ と電荷保存則 $\nabla\cdot{\bf j} + \partial\rho/\partial t = 0$ の両立から\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = {\bf j}
\tag{8}
\]と書き換えられる。
最後の2式は電荷・電流とからまないので、変更なし。

以上をまとめると、媒質中のマックスウェル方程式は以下の通り。

\[
\nabla\cdot{\bf D} = \rho \tag{9.1}
\]\[
\nabla\times{\bf H} - \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} = {\bf j} \tag{9.2}
\]\[
\nabla\cdot{\bf B} = 0 \tag{9.3}
\]\[
\nabla\times{\bf E} + \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} = 0 \tag{9.4}
\]


新たに導入した物理量の定義は以下の通り。

\[
{\bf D} = \varepsilon_0{\bf E} + {\bf P} \tag{10.1}
\]\[
{\bf H} = \frac{\bf B}{\mu_0} - {\bf M} \tag{10.2}
\]



しかし、こうやって眺めてみると、これまでHL単位系推しでしたが、
媒質中の場合は、MKSA単位系の方が c が入ってなくて、スッキリしてますね。
意外な発見!(笑)

参考文献
[1] J.D.Jackson "Classical Electrodynamics"
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ジャンル:[学問・文化・芸術]  テーマ:[自然科学
物理>電磁気学 | コメント(0) | 2016/08/25 19:46
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